Расположение двух прямых в пространстве

Расположение двух прямых в пространстве

Прямая в пространстве – необходимые сведения

Статья рассказывает о взаимном расположении линий в пространстве. Будут рассмотрены основные способы задания прямой с приведением примеров и наглядных рисунков.

Прямая в пространстве – понятие

Раздел о прямой на плоскости дает представление о течки и прямой. Расположение прямой в пространстве аналогично. Если мысленно отметить две точки и провести линию, соединив их, получим прямую, уходящую в бесконечность.

Точки, прямые и отрезки в пространстве обозначаются аналогично расположению в плоскости.

Если прямая располагается на плоскости в пространстве, тогда это можно подкрепить аксиомами:

  • через две точки можно провести единственную прямую;
  • если две точки прямой лежат в плоскости, то все остальные точки, расположенные на прямой принадлежат плоскости.

Имеет место аксиома, благодаря которой можно рассматривать прямую в пространстве в качестве двух пересеченных плоскостей:

Если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Показано на рисунке, приведенном ниже.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут совпадать, в таком случае они будут иметь большое количество общих точек или хотя бы 2 .

Две прямые, расположенные в пространстве, могут пересекаться в случае наличия одной общей точки.

Данный случай говорит о том, что прямые располагаются на плоскости трехмерного пространства. Когда прямые, расположенные в пространстве, пересекаются, то переходим к определению угла между пересекающимися прямыми.

Две прямые пространства параллельны в том случае, если расположены в одной плоскости без общих точек.

Рассмотрим ниже расположение параллельных прямых.

После рассмотрения определения параллельных прямых, расположенных в пространстве, необходимо добавить о направляющих векторах прямой.

Ненулевой вектор, который располагается на прямой или на параллельной ему прямой, называют направляющим вектором данной прямой.

Если по условию дана линия в пространстве, то он используется для решения задач.

Две прямые пространства могут быть скрещивающимися.

Две прямые называют скрещивающимися, при условии, что они лежат в одной плоскости.

Это тесно связано с определением угла между скрещивающимися прямыми.

Особым случаем считается пересечение или скрещивание прямых под прямым углом в пространстве. Их называют перпендикулярными. Рассмотрим на рисунке.

Способы задания прямой в пространстве

Для того, чтобы расположить прямую в пространстве, существует несколько методов.

Из аксиомы для двух точек плоскости имеем, что через них может быть задана единственная прямая. При расположении двух точек в пространстве также задается только одна прямая, проходящая через них.

При прямоугольной системе координат прямая задается с помощью координат точек, которые располагаются в трехмерном пространстве. Это и позволяет составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Еще один способ задания прямой – это теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, может проходить прямая, параллельная данной, причем только одна.

Отсюда следует, что при задавании прямой и точки, не лежащей на ней, сможем определить прямую, которая параллельна заданной и проходит через указанную точку.

Есть способ, когда можно указать точку, направляющий вектор и прямую, которая проходит через нее. При задании прямой относительно прямоугольной систему координат, можно говорить о канонических и параметрических уравнениях прямой в пространстве.

Немаловажный способ задания прямой – это способ, основанный на аксиоме: если две плоскости имеют общую точку, тогда имеют общую прямую, где располагаются общие точки заданных плоскостей. При задании двух пересекающихся плоскостей можно определить прямую пространства.

Если задана плоскость и нележащая в ней точка, тогда существует прямая, проходящая через нее и перпендикулярная заданной плоскости, причем только одна. Этот способ задания базируется на теореме. Получаем, что для определения прямой достаточно задать плоскость, перпендикулярную ей, с точкой, через которую проходит заданная прямая.

В случае, если прямая задается относительно введенной прямоугольной системы координат, то следует укрепить знания из статьиуравнения прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно в заданной плоскости.Рассмотрим задание прямой, используя точку, через которую она пройдет, и плоскости, которая располагается перпендикулярно относительно заданной прямой.

Расположение двух прямых в пространстве

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными , пересекающимися и скрещивающимися . Рассмотрим подробнее каждый случай.

1. Параллельные прямые линии.

Параллельными называются две прямые, которые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Проекции параллельных прямых на любую плоскость (не перпендикулярную данным прямым) — параллельны. Если AB / / C D то A1B1 / / C 1D1 ; A 2B2 / / C 2D2 ; A 3B3 / / C3D3 (рис.3 3 ). В общем случае справедливо и обратное утверждение.

Особый случай представляют собой прямые, параллельные одной из плоскостей проекций. Например, фронтальные и горизонтальные проекции профильных прямых параллельны, но для оценки их взаимного положения необходимо сделать проекцию на профильную плоскость проекций (рис. 3 4 ). В рассмотренном случае проекции отрезков на плоскость П 3 пересекаются, следовательно, они не параллельны.

Решение этого вопроса можно получить сравнением двух соотношений если:

2. Пересекающиеся прямые.

Пересекающимися называются две прямые лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций находится на одной линии связи (рис. 3 5 ).

В общем случае справедливо и обратное утверждение, но есть два частных случая:

1. Если одна из прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, например, профильной (рис.3 6 ), то по двум проекциям невозможно судить об их взаимном расположении. Так горизонтальная и фронтальная проекции отрезков АВ и СД пересекаются, причем точка пересечения проекций лежит на одной линии связи, однако сами отрезки не пересекаются, потому что точка пересечения профильных проекций этих отрезков не лежит на одной линии связи с точками пересечения их горизонтальной и фронтальной проекций.

2. Пересекающие прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, например перпендикулярной фронтальной плоскости проекций (рис. 3 7 ).

О взаимном расположении прямых, лежащих в этой плоскости, можно судить по одной горизонтальной проекции (А1В1 С 1D1 Þ АВ СD ).

3. Скрещивающиеся прямые

Скрещивающимися называются две прямые не лежащие в одной плоскости.

Если прямые не пересекаются и не параллельны между собой, то точка пересечения их одноименных проекций не лежит на одной линии связи.

Точке пересечения фронтальных проекций прямых (рис. 3 8 ) соответствуют две точки А и В , из которых одна принадлежит прямой а , другая в . Их фронтальные проекции совпадают лишь потому, что в пространстве обе точки А и В находятся на общем перпендикуляре к фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция этого перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет установить, какая из двух точек ближе к наблюдателю. На предложенном примере ближе точка В , лежащая на прямой в , следовательно, прямая в проходит в этом месте ближе прямой а и фронтальная проекция точки В закрывает проекцию точки А . (Для точек С и D решение аналогично).

Этот способ определения видимости по конкурирующим точкам . В данном случае точки А и В — фронтально конкурирующие , а С и D — горизонтально конкурирующи е .

§ 3. Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Две прямые на плоскости параллельны или пересекаются — третьей возможности для них нет. В пространстве же к этим двум случаям добавляется ещё один — когда две прямые не лежат в одной плоскости. Такие прямые существуют. Возьмём, например, четыре точки А, B, С, D, не лежащие в одной плоскости (задача 1.1). Тогда прямые АВ и CD (рис. 35) не лежат в одной плоскости (так как иначе точки А, B, С, D лежали бы в одной плоскости).

  1. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих точек — параллельные прямые (рис. 36, а).
  2. Прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку — пересекающиеся прямые (рис. 36, б).
  3. Прямые не лежат ни в одной плоскости. Такие прямые называются скрещивающимися (рис. 36, в).

  1. Прямые имеют общую точку. Тогда они лежат в одной плоскости. Это пересекающиеся прямые.
  2. Две прямые не имеют общих точек. Тогда они либо параллельны (если лежат в одной плоскости), либо скрещиваются (если не лежат в одной плоскости).

Все три случая можно видеть на примере прямых, по которым встречаются стены и потолок комнаты (рис. 37): например, а скрещивается с b и параллельна с, а b и с — пересекаются.

Отметим, что параллельные прямые задают плоскость, в которой они лежат.

3.2. Признаки скрещивающихся прямых

  1. Если две прямые содержат четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то они скрещиваются. Отсюда легко выводится второй признак скрещивающихся прямых:
  2. Прямая, лежащая в плоскости, скрещивается с каждой прямой, пересекающей эту плоскость, но не данную прямую.

Доказательство. Пусть прямая а пересекает плоскость а в точке А, но не пересекает прямую b, лежащую в плоскости а (рис. 38). Возьмём на прямой а ещё точку В, а на прямой b две точки С и D. Четыре точки А, B, С и D не лежат в одной плоскости, а потому прямые а и b скрещиваются.

3.3. Параллельные прямые

Для параллельных прямых в пространстве выполняется, как и на плоскости, следующее утверждение:

Теорема 5. Через каждую точку, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По теореме 3 через них проходит плоскость; обозначим её а. В плоскости а выполняются все положения планиметрии, а потому в ней через точку А проходит прямая b, параллельная а (рис. 39). Докажем, что другой прямой, параллельной а и проходящей через ту же точку А, нет.

Действительно, такая прямая по определению параллельных прямых должна лежать с прямой а в одной плоскости. Кроме того, она должна проходить через точку А. Значит, она должна лежать в плоскости, проходящей через прямую а и точку А.

Такая плоскость по теореме 3 только одна — это плоскость а.

Но в плоскости, как известно, через данную точку А проходит только одна прямая, параллельная данной прямой а, — это и есть прямая Ъ. Следовательно, в пространстве через точку А проходит только одна прямая, параллельная данной прямой а.

Как и на плоскости, в пространстве две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны. Чтобы доказать этот признак параллельности прямых, докажем сначала такую лемму:

Лемма. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую из них.

Пусть прямые а и Ь параллельны и плоскость а пересекает прямую а в точке А (рис. 40). Проведём плоскость β через параллельные прямые а и Ь. Плоскости а и β имеют общую точку A, a потому пересекаются по прямой с, проходящей через точку А. Прямая а пересекает прямую с в точке А. Поэтому в плоскости β и параллельная ей прямая b пересекает прямую с в некоторой точке В. В точке В прямая b пересекает и плоскость а.

Докажем признак параллельности прямых.

Пусть две прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что а||Ь. Возьмём на прямой b некоторую точку В и проведём плоскость а через точку В и прямую а. Тогда прямая b также лежит в плоскости а. Если бы прямая b пересекала плоскость а (в точке В), то по лемме эту плоскость пересекала бы и параллельная ей прямая с. Если же снова применить лемму к параллельным прямым а и с, то получим, что прямая а пересекает плоскость а, что противоречит построению плоскости а (она содержит прямую а). Значит, прямая b лежит в одной плоскости а с прямой а. Пересекаться прямые а и b не могут (по теореме 5). Поэтому прямые а и b параллельны.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Возможны четыре различных случая расположения двух прямых в пространстве:

– прямые скрещивающиеся, т.е. не лежат в одной плоскости;

– прямые пересекаются, т.е. лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку;

– прямые параллельные, т.е. лежат в одной плоскости и не пересекаются;

Получим признаки этих случаев взаимного расположения прямых, заданных каноническими уравнениями

где — точки, принадлежащие прямым и соответственно, a — направляющие векторы (рис.4.34). Обозначим через вектор, соединяющий заданные точки.

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямых и соответствуют следующие признаки:

– прямые и скрещивающиеся векторы не компланарны;

– прямые и пересекаются векторы компланарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и параллельные векторы коллинеарны, а векторы не коллинеарны;

– прямые и совпадают векторы коллинеарны.

Эти условия можно записать, используя свойства смешанного и векторного произведений. Напомним, что смешанное произведение векторов в правой прямоугольной системе координат находится по формуле:

Равенство нулю смешанного произведения векторов является необходимым и достаточным условием их компланарности. Поэтому:

– прямые и скрещивающиеся определитель отличен от нуля;

– прямые и пересекаются определитель равен нулю, а вторая и третья его строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и параллельные вторая и третья строки определителя пропорциональны, т.е. а первые две строки не пропорциональны, т.е.

– прямые и совпадают все строки определителя пропорциональны, т.е.

Расстояние между параллельными прямыми

где — произвольные точки на прямых соответственно, а координаты направляющих векторов прямых пропорциональны:

Искомое расстояние и , и может быть найдено по формуле (4.35).

Расстояние между скрещивающимися прямыми

Напомним, что расстоянием между скрещивающимися прямыми называется длина их общего перпендикуляра, т.е. кратчайшее расстояние между точками этих прямых.

где — произвольные точки на прямых и соответственно.

Искомое расстояние (рис.4.36), т.е.

— смешанное и векторное произведения векторов. Как показано выше, прямые и скрещивающиеся тогда и только тогда, когда векторы некомпланарные, т.е.

Отсюда следует, что вторая и третья строки не пропорциональны. Поэтому векторы неколлинеарные, т.е. и знаменатель в правой части (4.38) отличен от нуля.

Угол между прямыми

Угол между прямыми определяется как угол между их направляющими векторами. Поэтому величина острого угла между прямыми

вычисляется по формуле

Пример 4.16. Найти расстояние , и осью абсцисс. Найти величину острого угла между этими прямыми.

Решение. Каноническое уравнение оси абсцисс имеет вид так как ось проходит через точку а получено в примере 4.15,»а»:

Полагая по формуле (4.38) получаем:

Острый угол находим по формуле (4.39):

Взаимное расположение прямой и плоскости

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

– прямая и плоскость пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

– прямая и плоскость параллельны, т.е. не имеют общих точек;

– прямая лежит в плоскости, т.е. все точки прямой принадлежат плоскости.

Получим признаки для всех этих случаев. Пусть прямая заданы уравнениями:

т.е. прямая коллинеарно вектору а плоскость перпендикулярна вектору

Перечисленным выше случаям взаимного расположения прямой соответствуют следующие признаки:

– прямая пересекаются векторы и параллельны векторы и не принадлежит плоскости (рис.4.37,б);

– прямая векторы и принадлежит плоскости (рис.4.37,в).

Учитывая свойство скалярного произведения векторов получаем:

Угол между прямой и плоскостью

Угол между прямой определяется как угол между прямой и ее ортогональной проекцией на плоскость (рис.4.38). Из двух смежных углов и , как правило, выбирают меньший. Если прямая . Если обозначить и углы, образованные наклонной

Поскольку угол (или ) равен углу между направляющим вектором прямой к плоскости , то . Записывая скалярное произведение через координаты множителей, получаем формулу вычисления угла между прямой и плоскостью:

Отсюда, например, следует полученное ранее необходимое условие параллельности прямой и плоскости.

Урок 5. Взаимное расположение прямых в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на паралельных прямых.

Основная литература:

  1. Учебник Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. Геометрия 10-11 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Дополнительная литература:

  1. Зив Б.Г. Дидактические материалы Геометрия 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.
  2. Глазков Ю.А., Юдина И.И., Бутузов В.Ф. Рабочая тетрадь Геометрия 10 кл.-М.: Просвещение, 2013.

Открытый электронный ресурс:

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Мы уже знаем, что прямы в пространстве могут располагаться параллельно или пересекаться. Существует еще один вид- скрещивающиеся прямые. С ним мы мимолетно познакомились на предыдущем уроке. А сегодня нам предстоит разобраться с этой темой более подробно.

Определение. Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной плоскости. (рис. 1)

Рисунок 1 – скрещивающиеся прямые

На прошлом уроке в качестве наглядного примера нами был приведен куб.

Сегодня предлагаем вам обратить внимание на окружающую вас обстановку и найти в ней скрещивающиеся прямые.

Примеры скрещивающихся прямых вокруг нас:

Одна дорога проходит по эстакаде, а другая под эстакадой

Горизонтальные линии крыши и вертикальные линии стен

Разберем и докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (не лежат в одной плоскости).

Доказательство.
Рассмотрим прямую AB лежащую в плоскости и прямую CD, которая пересекает плоскoсть в точке D, не лежащей на прямой AB (рис. 2).

  1. Допустим, что прямые AB и CD всё-таки лежат в одной плоскости.
    2. Значит эта плоскость идёт через прямую AB и точку D, то есть она совпадает с плоскостью α.
    3. Это противоречит условиям теоремы, что прямая CD не находится в плоскости α, а пересекает её.
    Теорема доказана.

Рисунок 2 – скрещивающиеся прямые АВ и СD

Итак, возможны три случая расположения прямых в пространстве:

    1. параллельно

    1. пересекаются

    1. скрещиваются

Разберем и докажем еще одну теорему о скрещивающихся прямых.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Доказательство
Рассмотрим скрещивающиеся прямые AB и CD.(рис. 3)

1. Через точку D можно провести прямую DE параллельную AB.
2. Через пересекающиеся прямые CD и DE можно провести плоскость α
3. Так как прямая АB не лежит в этой плоскости и параллельна прямой DE, то она параллельна плоскости.

4. Эта плоскость единственная, так как любая другая плоскость, проходящая через CD, будет пересекаться с DE и AB, которая ей параллельна.
Теорема доказана.

Рисунок 3 – прямые АВ, СD, DЕ

Любая прямая, например ОО1, рассекает плоскость на две полуплоскости. Если лучи ОА и О1А1 параллельны и лежат в одной полуплоскости, то они называются сонаправленными.

Лучи О1А1 и ОА не являются сонаправленными. Они параллельны, но не лежат в одной полуплоскости. (рис. 4)

Рисунок 4 – сонаправленные лучи

Теорема.Если стороны двух углов соответственно сонаправленны, то такие углы равны. (рис. 5)

Доказательство:

при доказательстве ограничимся случаем, когда углы лежат в разных плоскостях.

  1. Стороны углов сонаправлены, а, значит, параллельны. Проведем через них плоскости- как показано на чертеже.

Отметим на сторонах угла O произвольные точки A и B.

На соответствующих сторонах угла O1 отложим отрезки OA1 и O₁B₁ равные соответственно ОA и OB.

2. В плоскости рассмотрим четырехугольник OAA1O1.

Так как противолежащие стороны OA и O1A1 этого четырехугольника равны и параллельны по условию, то этот четырехугольник– параллелограмм и, следовательно, равны и параллельны стороны AA1 и OO1.

3. В плоскости, аналогично можно доказать, что OBB1O1 параллелограмм, поэтому равны и параллельны стороны ВВ1 и OO1.

4. Если две отрезка AA1 и BB1 равны параллельны третьему отрезку OO1, значит, они равны и параллельны, т. е. АА1||BB1 и AA1 = BB1.

По определению четырехугольник АВВ1А1 – параллелограмм и из этого получаем АВ=А1В1.

5.Из выше построенного и доказанного АВ=А1В1, ОA =O1A1 и OB =O1B1 следует, что треугольники AOB и A1 O1 B1. равны по трем сторонам, и поэтому О= О1.

Рисунок 5 – равные углы с сонаправленными сторонами

Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если известен один из этих углов, то можно найти и другие три угла. Пусть а — тот из углов, который не превосходит любого из трех остальных углов. Тогда говорят, что угол между пересекающимися прямыми равен а. Очевидно, 0° < а ≤ 90°.

Введем теперь понятие угла между скрещивающимися прямыми(рис. 6, 7).Пусть АВ и СD- две скрещивающиеся прямые (рис. а.) Через произвольную точку М1 проведем прямые А1В1 и С1D1, соответственно параллельные прямым АВ и СВ (рис. б). Если угол между прямыми А1В1 и C1D1 равен φ, то будем говорить, что угол между скрещивающимися прямыми АВ и CD равен φ. Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М₁.

Действительно, возьмем любую другую точку М₂ и проведем через нее прямые А1В1 и С1D1, соответственно параллельные прямым АВ и СD (рис. б).

Так как А1В1||А1В1, C1D1|| С1D1, то стороны углов с вершинами М1 и М1 попарно сонаправлены (рис. б, такими углами являются ∟A1M1C1 и ∟A1M1C1, ∟A1M1D1 и ∟A1M1D1 и т.д.) Поэтому эти углы соответственно равны. Отсюда следует, что угол между прямыми А1В1 и С1D1 также равен φ. В качестве точки М, можно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых.

На рисунке в на прямой СD отмечена точка М и через нее проведена прямая А’В’, параллельная АВ. Угол между прямыми А’В’ и СD также равен φ.

Рисунок 6 – угол между скрещивающимися прямыми

Рисунок 7 – угол между скрещивающимися прямыми

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1. Прямая с пересекает прямую а и не пересекает прямую b, параллельна прямой а. Докажите, что b и с- скрещивающиеся прямые .

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector