Расположение двух окружностей взаимное расположение

Расположение двух окружностей взаимное расположение

Расположение двух окружностей взаимное расположение

Пусть даны окружность и точка не совпадающая с ее центром С (рис. 205). Возможны три случая: точка лежит внутри окружности (рис. 205, а), на окружности (рис. 205, б), вне окружности (рис. 205, в). Проведем прямую она пересечет окружность в точках К и L (в случае б) точка совпадет с из которых одна будет ближайшей к точке сравнению со всеми другими точками окружности), а другая — наиболее удаленной.

Так, например, на рис. 205, а точка К окружности — ближайшая к . В самом деле, для любой другой точки окружности ломаная длиннее отрезка САГ: но и потому Напротив, для точки L найдем (снова ломаная длиннее отрезка прямой). Разбор остальных двух случаев предоставляем читателю. Заметим, что наибольшее расстояние равно наименьшее если или если .

Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей (рис. 206).

а) Центры окружностей совпадают (рис. 206, а). Такие окружности называются концентрическими. Если радиусы этих окружностей не равны, то одна из них лежит внутри другой. В случае равенства радиусов они совпадают.

б) Пусть теперь центры окружностей различны. Соединим их прямой, она называется линией центров данной пары окружностей. Взаимное расположение окружностей будет зависеть только от соотношения между величиной отрезка d, соединяющего их центры, и величинами радиусов окружностей R, г. Все возможные существенно различные случаи представлены на рис. 206 (считаем ).

1. Расстояние между центрами меньше разности радиусов:

(рис. 206, б), малая окружность лежит внутри большой. Сюда же можно отнести и случай а) совпадения центров (d = 0).

2. Расстояние между центрами равно разности радиусов:

(рис. 206, s). Малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на линии центров (говорят, что имеет место внутреннее касание).

3. Расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы:

(рис. 206, г). Каждая из окружностей лежит частично внутри, частично вне другой.

Окружности имеют две точки пересечения К и L, расположенные симметрично относительно линии центров . Отрезок — общая хорда двух пересекающихся окружностей. Он перпендикулярен к линии центров.

4. Расстояние между центрами равно сумме радиусов:

(рис. 206, д). Каждая из окружностей лежит вне другой, но они имеют общую точку на линии центров (внешнее касание).

5. Расстояние между центрами больше суммы радиусов: (рис. 206, е). Каждая из окружностей целиком лежит вне другой. Окружности не имеют общих точек.

Приведенная классификация полностью вытекает из разобранного. выше вопроса о наибольшем и наименьшем расстоянии от точки до окружности. Следует лишь рассмотреть на одной из окружностей две точки: самую близкую и самую далекую от центра второй окружности. Например, разберем случай По условию . Но наиболее отдаленная от О точка малой окружности находится от центра О на расстоянии Поэтому вся малая окружность лежит внутри большой. Так же рассматриваются и остальные случаи.

В частности, если радиусы окружностей равны, то возможны только три последних случая: пересечение, внешнее касание, внешнее расположение.

Взаимное расположение двух окружностей на плоскости.

Урок является вводным. Теория подкрепляется не сложными заданиями. Урок создан для детей с ЗПР.

Просмотр содержимого документа
«Взаимное расположение двух окружностей на плоскости.»

Тема урока: « Взаимное расположение двух окружностей на плоскости».

Образовательнаяусвоение новых знаний о взаимном расположении двух окружностей, подготовка к контрольной работе

Развивающаяразвитие вычислительных навыков, развитие логико-структурного мышления; формирование навыков нахождения рациональных путей решения и достижения конечных результатов; развитие познавательной деятельности и творческого мышления.

Воспитательнаяформирование у учащихся ответственности, системности; развитие познавательных и эстетических качеств; формирование информационной культуры учащихся.

Коррекционнаяразвивать пространственное мышление, память, моторику рук.

Тип урока: изучение нового учебного материала, закрепление.

Вид урока: смешанный урок.

Метод обучения: словесный, наглядный, практический.

Форма обучения: коллективная.

Средства обучения: доска

1. Организационный этап

— приветствие;

— проверка подготовленности к уроку;

2. Актуализация опорных знаний.
Какую темы мы проходили на прошлых уроках?

Общий вид уравнения окружности?

Блиц-опрос

3. Введение нового материала.

Как вы думаете а какую фигуру мы сегодня будем рассматривать…. А если их две??

Как они могут быть расположены.

Дети показывают руками (соседи) как могут располагаться окружности (физкультминутка)

Ну и как вы думаете что мы сегодня должны рассмотреть??Мы сегодня должны рассмотреть взаимное расположение двух окружностей. И выяснить каково расстояние между центрами в зависимости от расположения.

Тема урока: « Взаимное расположение двух окружностей. Решение задач.»

1. Концентрические окружности

2. Непересекающиеся окружности

3.Внешнее касание

4. Пересекающиеся окружности

5.Внутренне касание


Итак сделаем вывод

4.Формирование умений и навыков

— Найдите ошибку в данных или в утверждении и исправьте ее, обосновав свое мнение:

А) Две окружности касаются. Радиусы их равны R = 8 см и r = 2 см, расстояние между центрами d = 6.
Б) Две окружности имеют, по крайней мере, две общие точки.

В) R = 4, r = 3, d = 5. Окружности не имеют общих точек.

Г) R = 8, r = 6, d = 4. Меньшая окружность расположена внутри большей.

Д) Две окружности не могут располагаться так, что одна находится внутри другой.

5.Закрепление навыков и умений.

Окружности касаются внешним образом. Радиус меньшей окружности равен 3 см. радиус большей- 5 см. Чему равно расстояние между центрами?

Окружности касаются внутренним образом. Радиус меньшей окружности 3 см. Радиус большей окружности- 5 см. Чему равно расстояние между центрами окружностей?

Окружности касаются внутренним образом. Расстояние между центрами окружностей 2,5 см. Чему равны радиусы окружностей?

ответ: (5,5 см и 3 см), (6.5 см и 4 см ) и т.д.

1) Как могут располагаться две окружности?

2) В каком случае окружности имеют одну общую точку?

3) Как называется общая точка двух окружностей?

4) Какие касания вам известны?

5) Когда окружности пересекаются?

6) Какие окружности называются концентрическими?

Дополнительные задания на тему: Векторы. Метод координат»( если останется время)

1)Е(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Найти:

а) координаты векторов EF,GH

б) длину вектора FG

в) координаты точки О – середины EF

координаты точки W – середины GH

г) уравнение окружности с диаметром FG

д) уравнение прямой FH

6. Домашнее задание

& 96 №1000. Какие из данных уравнений являются уравнениями окружности. Найти центр и радиус

7. Подведение итогов урока (3 мин.)

( дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся).

8. Этап рефлексии (2 мин.)

(инициировать рефлексию учащихся по поводу своего эмоционального состояния, своей деятельности, взаимодействия с учителем и одноклассниками с помощью рисунков)

Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям

Взаимное расположение двух окружностей

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Каждая из окружностей лежит вне другой

Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Общие касательные к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям

Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.

Общие касательные к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям

Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.

Общие касательные к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.

Общие касательные к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Общие касательные к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям

Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.

Общие касательные к двум окружностям

Общие касательные к двум окружностям

Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле

Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле

Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Утверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

Доказательство формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей

что и требовалось доказать.

Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле

Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3,

Взаимное расположение двух окружностей

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока «Взаимное расположение двух окружностей»

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, каким уравнением задается окружность с центром в точке и радиусом r.

Также вспомним уравнение окружности, центром которой является начало координат.

Запишем уравнения, которые задают произвольную прямую.

;

;

– угловой коэффициент прямой.

Сегодня мы с вами посмотрим, как могут располагаться две окружности.

Сначала перечислим все возможные случаи взаимного расположения. Окружности могут не пересекаться. Центры окружностей могут совпадать, Окружности могут касаться друг друга, окружности могут пересекаться в двух точках.

Сначала рассмотрим случай, когда центры окружностей совпадают. Такие окружности называются концентрическими. Если радиусы окружностей не равны, то такие окружности образуют кольцо. Если радиусы окружностей равны, то окружности совпадают.

Теперь давайте рассмотрим случаи, когда центры окружностей не совпадают. Соединим их прямой d, которую назовем линией центров данной пары окружностей.

В данном случае взаимное расположение окружностей будет зависеть от соотношения между величиной d и величинами радиусов окружностей. Для того, чтобы было понятно о какой окружности идет речь, радиус одной из окружностей обозначим за r, а радиус второй окружности – за R. И будем считать, что .

Если , то очевидно, что окружности не пересекаются. В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

Если , то тогда одна окружность лежит внутри другой, но они не пересекаются.

Если , тогда малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней одну общую точку на линии центров. Такой случай называют внутренним касанием, а такие окружности называют внутренне касающимися.

Если , то окружности пересекаются в двух точках и называются пересекающимися.

Если , то такие окружности имеют одну общую точку, причем центр одной из них расположен за пределами второй окружности. Такой вид касания называется внешним касанием, а такие окружности называются внешне касающимися. Точка касания внешне касающихся окружностей лежит на линии центров.

Решим несколько задач.

Задача. Как располагаются окружности, если:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

а)

б)

в)

г)

д)

Рассмотрим еще одну задачу.

Задача. Наименьшее расстояние между точками двух концентрических окружностей равно , а наибольшее равно . Найдите радиусы этих окружностей.

Ответ: .

Задача. Радиусы двух концентрических окружностей относятся как . Найти диаметры этих окружностей, если ширина кольца, образованного ими, равна см.

(см)

Ответ: .

Задача. Даны два круга – один внутри другого. Через их центры проведен в большем круге диаметр, который делится окружностью меньшего круга на три части, равные . Найти расстояние между центрами кругов.

,

, .

Найдем радиусы окружностей.

Ответ: .

Подведем итоги урока. Сегодня мы рассмотрели варианты расположения двух окружностей в пространстве в зависимости от соотношения расстояния между центрами окружностей и их радиусами.

Взаимное расположение двух окружностей

Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов , и расстояния между их центрами . Пусть .

Если центры окружностей совпадают, т.е. = 0, то окружности называются концентрическими, и окружность радиуса лежит внутри круга радиуса :

Пусть 0. Введём прямоугольную систему координат так, чтобы точка совпала с центром окружности радиуса , а точка 1 с координатами являлась центром второй окружности. Тогда в данной системе координат уравнения первой и второй окружностей имеют вид:

, . (1)

Если система уравнений (1) имеет решением пару чисел = , = , то точка — общая точка данных окружностей, и обратно: если точка — общая точка данных окружностей, то пара чисел = , = является решением системы уравнений (1):

Пусть система (1) имеет решением пару чисел = , = , т.е. справедливы числовые равенства

, . (2)

Вычтем второе равенство из первого, получим равенство . Выражаем из данного равенства :

. (3)

Так как и 0, то 0. В то же время из первого равенства (2) следует, что , т.е. для величин , и должно выполняться неравенство или . Последнее неравенство запишем в виде . Следовательно, или

. (4)

Отметим, что = , если = — или = + , и , если .

Итак, если система уравнений (1) имеет решение, то величина удовлетворяет неравенствам (4). Поэтому, если не выполнено какое-то из неравенств (4), то система (1) не имеет решений и данные окружности не имеют общих точек. Так может быть в двух случаях:

1. — , т.е. + :

В этом случае окружность радиуса лежит внутри круга радиуса . Говорят также, что одна окружность лежит внутри другой.

2. + :

В этом случае говорят, что одна окружность лежит вне другой.

Если неравенства (4) выполнены, то возможны три случая:

3. = — , при этом из того что 0 следует, что . Выше мы говорили, что = , поэтому из первого из равенств (2) следует, что =0. Подставив пару чисел = , =0 в систему равенств (4), мы получим, что данные числа являются ее решением. Значит, в данном случае окружности имеют ровно одну общую точку:

Говорят, что окружности касаются изнутри.

4. = + . В данном случае также = , поэтому =0. Подставив пару чисел = , =0 в систему равенств (4), мы получим, что данные числа являются ее решением. В данном случае, как и в случае 3, окружности имеют одну общую точку, но расположены друг относительно друга иначе:

Говорят, что окружности касаются извне.

5. . Выше мы говорили, что число , которое определяется равенством (3), удовлетворяет неравенству , поэтому из первого равенства (2) получаем два значения : и . То есть в данном случае система (1) имеет два решения: = , и = , :

Следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

Итак, если расстояние между центрами двух окружностей отлично от нуля, то возможны пять случаев, описанных выше, взаимного расположения двух окружностей.

Взаимное расположение двух окружностей
план-конспект урока по геометрии (7 класс) на тему

Тысленко Оксана Александровна

Выберите смайлик, который соответствует вашему настроению на начало урока . Отличное! Хорошее . Грустное . Скучно .

«Знание – самое превосходное из владений. Все стремятся к нему, само же оно не приходит». а ль — Бируни

Девиз урока: Будем думать, Будем решать, Будем друг другу Во всем помогать!

О Назовите элементы окружности. Окружность (О, r ) ОК = r – радиус r A B АВ – хорда С D CD  диаметр К

Соедините линями соответствующие части высказываний: 1. Диаметр окружности – это … … геометрическая фигура, состоящая из всех точек, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. 2. Дуга окружности – это … … отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности. 3. Окружность – это … … хорда, проходящая через центр окружности. 4. Радиус окружности – это … … отрезок, соединяющий две точки окружности. 5. Хорда окружности – это … … часть окружности, ограниченная двумя точками.

Критерий оценивания. 5 — «5» 4 – «4» 2-3 – «3»

Выберите на рисунке хорду С D A O B CD

Выберите на рисунке диаметр А В К N O KN

Выберите на рисунке отрезки, которые являются а) хордами окружности; б) диаметрами окружности; в) радиусами окружности. O A B M P C C 1 N T S D 1 D CD,MN AB OP,OB,OA ,

Взаимное расположение д вух окружностей.

Цель: Научиться определять взаимное расположение двух окружностей, опираясь на знание зависимости радиусов окружностей и расстояния между их центрами.

Окружности не имеют общих точек 1 2 1 2

Окружности имеют одну общую точку .

Окружности имеют две общие точки (пересекаются)

………………………… ………… окружности имеют общий центр. Концентрические

Заполните таблицу. Радиус первой окружности, см 6 3 6 3 3 5 Радиус второй окружности, см 2 2 4 4 4 2 Расстояние между центрами окружностей, см 3 5 12 5 0 9 Вывод о взаимном расположении окружностей Окружности пересекаются в двух точках Окружности пересекаются в одной точке Окружности не пересекаются Окружности пересекаются в двух точках Окружности имеют общий центр Окружности не пересекаются

Критерий оценивания. 5-6 — «5» 4 – «4» 2-3 – «3»

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух ркружностей.

Конспект и презентация к уроку по теме «Взаимное расположение прямой и окружности. Взаимное расположение двух окружностей». Урок в 6 классе по учебнику «Математика — 6» под ред. Г.В. Дорофеев, И.

Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности.

Цели и задачи:образовательные – добиться умения самостоятельно формулировать определения понятий: окружность, радиус, диаметр, хорда каждым учащимся, изучить возможности взаимного расположения п.

Технологическая карта дистанционного урока.Тема урока: «Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности».

Метод проблемного обучения при проведении дистанционных уроков.

Взаимное расположение двух окружностей

Исследуем взаимное расположение двух окружностей в зависимости от их радиусов и расстояние между их центрами.

Урок в 8 классе по геометрии «Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности»

Технологическая карта урока геометрии в 8 классе по теме «Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности». Презентация к уроку.

Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Неевклидова геометрия.

Что нужно сегодня работодателям? Им нужен тот, кто получает удовольствие от процесса работы, чувствует себя достаточно комфортно в быстро меняющихся условиях, продолжат видеть цель и иди п.

Методическая разработка дистанционного урока в 6 классе на тему «Взаимное расположение двух прямых, двух окружностей, прямой и окружности»

Тип урока: урок открытия новых знанийЦели урока: Обучающие:- Определить все варианты возможного расположения двух прямых, двух окружностей, прямой и окружности;- Развитие математического мышления.- Ра.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector