Презентация на тему: Числовая окружность
№ слайда 1 
Числовая окружность ЛЕКЦИЯ с примерами
№ слайда 2 
План лекции: Числовая прямая. Числовая окружность. 2. Движение по числовой окружности. 3. «Хорошие» числа на числовой окружности(макет 1 , макет 2). 4. Аналитическая запись дуги числовой окружности.
№ слайда 3 
1. Числовая прямая. Числовая окружность. Числовая прямая Числовая окружность Каждому заданному действительному числу на прямой соответствует единственная точка(обратное верно?) Каждой заданной точке на окружности соответствует множество действительных чисел(обратное верно?)
№ слайда 4 
2. Движение по числовой окружности.
№ слайда 5 
2. Движение по числовой окружности. Найдите на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу:
№ слайда 6 
3. «Хорошие» числа на числовой окружности Макет 1: середины дуг четвертей
№ слайда 7 
3. «Хорошие» числа на числовой окружности Макет 2: третьи частидуг четвертей
№ слайда 8 
3. «Хорошие» числа на числовой окружности Отметьте заданные точки на числовой окружности:
№ слайда 9 
3. «Хорошие» числа на числовой окружности Найдите и запишите все числа, которым соответствуют выделенные на числовой окружности точки:
№ слайда 10 
3. Аналитическая запись дуги числовой окружности Первая четверть разделена на две равные части точкой М, а вторая на три равные части точками К и Р. Определите длины дуг числовой окружности:
№ слайда 11 
3. Аналитическая запись дуги числовой окружности Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки принадлежащие указанной открытой дуге, где М – середина первой четверти
№ слайда 12 
Числовая прямая. Числовая окружность. 2. Движение по числовой окружности. 3. «Хорошие» числа на числовой окружности(макет 1 , макет 2). 4. Аналитическая запись дуги числовой окружности.
№ слайда 13 
Глава 2, параграф 4 (разобрать все примеры).1) Знать понятие числовой окружности.2) Выучить расположение и название точек на макетах 1,2 Задачник:№ 2, 5( а, г), 6( а, г), 8-11 ( а, г), 16
Презентация на тему «Числовая окружность» 10 класс
Помогите другим пользователям — будьте первым, кто поделится своим мнением об этой презентации.
Аннотация к презентации
Посмотреть и скачать презентацию по теме «Числовая окружность» по математике, включающую в себя 18 слайдов. Скачать файл презентации 1.16 Мб. Для учеников 10 класса. Большой выбор учебных powerpoint презентаций по математике
Содержание
Числовая окружность
10 класс. Мордкович А.Г.Тригонометрические функции. . 10 класс
Слайд 2
Цель урока:
ввести понятие числовой окружности; формировать умения записывать множество чисел, соответствующих на числовой окружности точке; формировать умения находить на числовой окружности точку, соответствующую данному числу.
Слайд 3
Числовая прямая
0 1 3 6 -1 -3 -6 Отметьте на числовой прямой числа π, 2π, -π, -2π. Прямая, на которой заданы точка отсчета, единичный отрезок и положительное направление, называется числовой прямой. Любому действительному числу можно сопоставить точку на числовой прямой , и наоборот. Отметьте на числовой прямой промежутки (π; 2π), [-2π; π/2]. π 2π -π -2π
Слайд 4
Что такое «пи»?
Слайд 5
Числовая прямая
0 π 2π -π -2π Запишите координаты точек : D B C A А B C D Запишите промежутки и соответствующие неравенства: 1 2 t [DA) [BC] проверка проверка
Слайд 6
Числовая окружность
Определение. Единичную окружность называют числовой окружностью, если между действительными числами и точками окружности установлено соответствие: Числу t = 0 сопоставлена точка А – правый конец горизонтального диаметра: А(0). Если t > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ длиной t, тогда М – искомая М(t). Если t
Слайд 7
Макеты числовой окружности
Слайд 8
Слайд 9
Задание 1.
Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу: Проверка (7) О R=1 π 8 4π 3 5π 2 5π 0 π 8 4π 3 — 3π 2. Какое взаимное расположение на числовой окружности точек, соответствующих числам
Слайд 10
Задание 2 (№ 11.11 — №11.12).
Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу: 2; 5; -5; -9; -17; 31; -95. Проверка (7) R=1 π 0 3π 2 π 2 π/2 ≈ 3,14/2 = 1,57 3π/2 ≈ 3*3,14/2 = 4,71 II I III IV 5 = 4,71+0,29 2 5 -5 9 = 6,28+2,72 9 -9 17 = 2*6,28+4,44 -17 31 = 4*6,28 + 5,88 31 95 = 15*6,28 +0,8 -95 17 95
Слайд 11
Задание 3 (№11.14)
Как расположены на координатной прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам: О π 0 3π 2 π 2 t — t t+2πk t+π t-π a) t и –t; б) t и t+2πk, kZ; в) t и t+π; г) t+πиt-π; 0 π 2π -π -4π t 4π -2π t t+π -t t-π
Слайд 12
Задание 4.
Постройте геометрическую модель дуги числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству. О R π 4 3π 4 5π 4 7π 4 π 6 π 3 2π 3 5π 6 7π 6 4π 3 5π 3 11π 6 π 2 π 3π 2 2π 0 π 6 -3π 4
Слайд 13
Задание 5.
π 4 3π 4 5π 4 7π 4 π 6 π 3 2π 3 5π 6 7π 6 4π 3 5π 3 11π 6 π 2 π 3π 2 О R=1 0 А В С D R P Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие открытой дуге AB DC PR k Z
Слайд 14
Самостоятельная работа:
Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу: Вариант 1. Вариант 2
Слайд 15
Проверка:
Слайд 16
Итог урока
Что такое числовая окружность?? Как найти точку на числовой окружности?
Слайд 17
Домашнее задание
§11. 11.6-11.12(в,г) 11.20-11.21(в,г)
Слайд 18
Источники
А.Г. Мордкович, «Алгебра и начала анализа», 10 — 11 классы, часть 1, учебник. А.Г. Мордкович, «Алгебра и начала анализа», 10 — 11 классы, часть 2, задачник.
Точки на числовой окружности
При изучении тригонометрии в школе каждый ученик сталкивается с весьма интересным понятием «числовая окружность». От умения школьного учителя объяснить, что это такое, и для чего она нужна, зависит, насколько хорошо ученик поймёт тригонометрию впоследствии. К сожалению, далеко не каждый учитель может доступно объяснить этот материал. В результате многие ученики путаются даже с тем, как отмечать точки на числовой окружности. Если вы дочитаете эту статью до конца, то научитесь делать это без проблем.
Итак, приступим. Нарисуем окружность, радиус которой равен 1. Самую «правую» точку этой окружности обозначим буквой O:
Поздравляю, вы только что нарисовали единичную окружность. Поскольку радиус этой окружности равен 1, то её длина равна .
Каждому действительному числу можно поставить в соответствие длину траектории вдоль числовой окружности от точки O. За положительное направление принимается направление движения против часовой стрелки. За отрицательное – по часовой стрелке:
Расположение точек на числовой окружности
Как мы уже отмечали, длина числовой окружности (единичной окружности) равна . Где тогда будет располагаться на этой окружности число ? Очевидно, от точки O против часовой стрелки нужно пройти половину длины окружности, и мы окажемся в нужной точке. Обозначим её буквой B:
Обратите внимание, что в ту же точку можно было бы попасть, пройдя полуокружность в отрицательном направлении. Тогда бы мы отложили на единичной окружности число . То есть числам и соответствует одна и та же точка.
Причём этой же точке соответствуют также числа , , , и, вообще, бесконечное множество чисел, которые можно записать в виде , где , то есть принадлежит множеству целых чисел. Всё это потому, что из точки B можно совершить «кругосветное» путешествие в любую сторону (добавить или вычесть длину окружности ) и попасть в ту же самую точку. Получаем важный вывод, который нужно понять и запомнить.
Разобьем теперь верхнюю полуокружность числовой окружности на дуги равной длины точкой C. Легко видеть, что длина дуги OC равна . Отложим теперь от точки C дугу той же длины в направлении против часовой стрелки. В результате попадём в точку B. Результат вполне ожидаемый, поскольку . Отложим эту дугу в том же направлении ещё раз, но теперь уже от точки B. В результате попадём в точку D, которая будет уже соответствовать числу :
Заметим опять, что эта точка соответствует не только числу , но и, например, числу , потому что в эту точку можно попасть, отложив от точки O четверть окружности в направлении движения часовой стрелки (в отрицательном направлении).
И, вообще, отметим снова, что этой точке соответствует бесконечно много чисел, которые можно записать в виде . Но их также можно записать в виде . Или, если хотите, в виде . Все эти записи абсолютно равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.
Разобьём теперь дугу на OC пополам точкой M. Сообразите теперь, чему равна длина дуги OM? Правильно, вдвое меньше дуги OC. То есть . Каким числам соответствует точка M на числовой окружности? Уверен, что теперь вы сообразите, что эти числа можно записать в виде .
Но можно и иначе. Давайте в представленной формуле возьмём . Тогда получим, что . То есть эти числа можно записать в виде . Этот же результат можно было получить, используя числовую окружность. Как я уже говорил, оба записи равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.
Теперь вы легко можете привести пример чисел, которым соответствуют точки N, P и K на числовой окружности. Например, числам , и :
Часто именно минимальные положительные числа и берут для обозначения соответствующих точек на числовой окружности. Хотя это совсем не обязательно, и точке N, как вы уже знаете, соответствует бесконечное множество других чисел. В том числе, например, число .
Если разбить дугу OC на три равные дуги точками S и L, так что точка S будет лежать между точками O и L, то длина дуги OS будет равна , а длина дуги OL будет равна . Используя знания, которые вы получили в предыдущей части урока, вы без труда сообразите, как получились остальные точки на числовой окружности:
Числа не кратные π на числовой окружности
Зададимся теперь вопросом, где на числовой прямой отметить точку, соответствующую числу 1? Чтобы это сделать, надо от самой «правой» точки единичной окружности O отложить дугу, длина которой была бы равна 1. Указать место искомой точки мы можем лишь приблизительно. Поступим следующим образом.
Мы знаем, где на числовой прямой находится точка L, соответствующая числу . Мы также знаем приблизительное значение числа . Тогда, очевидно, число чуть больше 1. Следовательно, точка, которая соответствует числу 1, расположена на числовой окружности чуть ближе к точке O, чем точка L:
Отмеченной точке, как мы уже знаем, соответствуют также числа .
Таким образом, на сегодняшнем уроке мы усвоили, что каждому числу соответствует какая-то точка на числовой окружности, но каждой точке числовой окружности соответствует бесконечное множество чисел. Запомните это, чтобы не путаться в дальнейшем при изучении тригонометрии.
Надеюсь, вы усвоили этот урок. Чтобы убедиться в этом, выполните самостоятельно следующие упражнения. Возникшие вопросы обсудим с вами в комментариях:
10 класс. Алгебра. Тригонометрические функции. Числовая окружность.
Для любой функции независимый аргумент откладывается либо на числовой прямой, либо на окружности. Охарактеризуем и числовую прямую, и числовую окружность.
2. Числовая прямая
Числовая прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между всеми точками прямой и всеми действительными числами.
Например, берем число откладываем на координатной оси, получаем точку Возьмем число откладываем на оси, получаем точку (рис. 2).
И наоборот, если мы взяли любую точку на координатной прямой, то найдется единственное соответствующее ей действительное число (рис. 2).
К такому соответствию люди пришли не сразу. Чтобы понять это, вспомним основные числовые множества.
3. Числовые множества
Сначала ввели множество натуральных чисел
Затем множество целых чисел
Множество рациональных чисел
Предполагалось, что этих множеств будет достаточно, и существует взаимно-однозначное соответствие между всеми рациональными числами и точками прямой. Но оказалось, что на числовой прямой есть бесчисленное множество точек, которые нельзя описать числами вида
Пример – гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 1 и 1. Она равна (рис. 3).
Найдется ли среди множества рациональных чисел число, в точности равное Нет, не найдется. Докажем этот факт.
Докажем методом от противного. Предположим, что существует дробь, равная т.е.
Тогда Возведем обе части в квадрат, Очевидно, что правая часть равенства делится на 2, . Значит и Тогда Но тогда и А значит, Тогда получается, что дробь сократимая. Это противоречит условию, значит
Число иррациональное. Множество рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел Если мы возьмем любую точку на прямой, ей будет соответствовать какое-либо действительное число. И если мы возьмем любое действительное число, ему будет соответствовать единственная точка на координатной прямой.
4. Числовая окружность
Уточним, что такое числовая окружность и каковы взаимоотношения между множеством точек окружности и множеством действительных чисел.
Начало отсчета – точка A. Направление отсчета – против часовой стрелки – положительное, по часовой стрелке – отрицательное. Масштаб – длина окружности (рис. 4).
Вводя эти три положения, мы имеем числовую окружность. Укажем, каким образом каждому числу поставить в соответствие точку на окружности и наоборот.
Задав число получаем точку на окружности
(рис. 4).
Точка соответствует числу . А если взять числа Все эти числа своим образом на окружности имеют только одну точку
Например, соответствует точке B (рис. 4).
Возьмем все числа Все они соответствуют точке B. Нет взаимно-однозначного соответствия между всеми действительными числами и точками окружности.
Если есть фиксированное число то ему соответствует только одна точка окружности
Если есть точка окружности, то ей соответствует множество чисел
В отличии от прямой, координатная окружность не обладает взаимно-однозначным соответствием между точками и числами. Каждому числу соответствует только одна точка, но каждой точке соответствует бесчисленное множество чисел, и мы можем их записать.
5. Основные точки окружности
Рассмотрим основные точки на окружности.
Задано число Найти, какой точке на окружности оно соответствует.
Разделив дугу пополам, получаем точку (рис. 5).
Обратная задача – дана точка середина дуги Найти все действительные числа, которые ей соответствуют.
Отметим на числовой окружности все дуги, кратные (рис. 6).
Важны также дуги, кратные
Дано число Нужно найти соответствующую точку.
Обратная задача – дана точка, нужно найти каким числам она соответствует.
(рис. 7).
Мы рассмотрели две стандартные задачи на двух важнейших точках.
6. Задачи
a) Найти на числовой окружности точку с координатой
Откладываем от точки A это два целых оборота и еще половина, и Получаем точку M – это середина третьей четверти (рис. 8).
b) Найти на числовой окружности точку с координатой
Откладываем от точки A полный оборот и еще получаем точку N (рис. 9).
7. Вывод, заключение
Мы рассмотрели числовую прямую и числовую окружность, вспомнили их особенности. Особенностью числовой прямой является взаимно-однозначное соответствие между точками этой прямой и множеством действительных чисел. Такого взаимно-однозначного соответствия нет на окружности. Каждому действительному числу на окружности соответствует единственная точка, но каждой точке числовой окружности соответствует бесчисленное множество действительных чисел.
повторение
Ранее мы изучили числовую окружность и выяснили её свойства (рис. 1).
Каждому действительному числу соответствует единственная точка на окружности.
Каждой точке на числовой окружности соответствует не только число но и все числа вида
8.Числовая окружность в координатной плоскости
Поместим окружность в координатную плоскость. По прежнему, каждому числу соответствует точка на окружности. Теперь этой точке на окружности соответствуют две координаты, как и любой точке координатной плоскости.
(рис. 2).
Наша задача – по данному числу найти не только точку, но и её координаты, и наоборот, по координатам найти одно или несколько соответствующих чисел.
9. Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны
Пример 1.Дана точка – середина дуги Точке соответствуют числа вида
Найти координаты точки (рис. 3).
Координаты можно найти двумя разными способами, рассмотрим их по очереди.
1. Точка лежит на окружности, R=1, значит, она удовлетворяет уравнению окружности
по условию. Мы помним, что величина центрального угла численно равна длине дуги в радианах, значит, угол Это значит также, что прямая делит первую четверть ровно пополам, значит, это прямая
Точка лежит на прямой поэтому удовлетворяет уравнению этой прямой.
Составим систему из двух уравнений.
2. Рассмотрим прямоугольный (рис. 4).
Итак, мы задали число нашли точку и её координаты. Определим также координаты симметричных ей точек (рис. 5).
10. Нахождение прямоугольных координат точек, криволинейные координаты которых кратны
Следующая задача – таким же образом определить координаты точек, кратных
Окружность радиуса R=1 помещена в координатную плоскость, Найти точку на окружности и её координаты (рис. 6).
Рассмотрим – прямоугольный.
т. е. угол
Мы задали число нашли точку на окружности, эта точка единственная, и нашли её координаты.
11. Решение задач
Самостоятельно рекомендуется найти координаты точки, соответствующей числу
Пример 1. Дана точка Найти её прямоугольные координаты.
Точка середина третьей четверти (рис. 8).
12. Вывод, заключение
Мы поместили числовую окружность в координатную плоскость, научились находить по числу точку на окружности и её координаты. Эта техника лежит в основе определения синуса и косинуса, которые будут рассмотрены далее.
Числовая окружность 10 класс. Мордкович А.Г. Тригонометрические функции. Валиева Ю.Ф. — презентация
Презентация на тему: » Числовая окружность 10 класс. Мордкович А.Г. Тригонометрические функции. Валиева Ю.Ф.» — Транскрипт:
1 Числовая окружность 10 класс. Мордкович А.Г. Тригонометрические функции. Валиева Ю.Ф.
2 Цель урока ввести понятие числовой окружности; формирование умения записывать множество чисел, соответствующих на числовой окружности точке; формирование умения находить на числовой окружности точку, соответствующую данному числу.
3 Числовая прямая Нанесите на числовую прямую числа π, 2 π, -π, — 2 π. Прямая, на которой заданы точка отсчета, единичный отрезок и положительное направление, называется числовой прямой. Определение? Свойство? Любому действительному числу можно сопоставить точку на числовой прямой, и наоборот. Нанесите на числовую прямую промежутки ( π ; 2 π ), [ — 2 π ; π/ 2]. π 2π2π -π-π -2π
4 Числовая прямая 0 π 2π2π -π-π -2π Запишите координаты точек : D B C A АBCD Запишите промежутки и соответствующие неравенства: 1 2 t [DA) [BC] проверка
5 Числовая окружность Определение. Единичную окружность называют числовой окружностью, если между действительными числами и точками окружности установлено соответствие: Числу t = 0 сопоставлена точка А – правый конец горизонтального диаметра: А(0). Если t > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ длиной t, тогда М – искомая М(t). Если t
6 Числовая окружность О R π 4 3π3π 4 5π5π 4 7π7π 4 π 6 π 3 2π2π 3 5π5π 6 7π7π 6 4π4π 3 5π5π 3 11π 6 π 2 π 3π3π 2 2π2π О R π 2π2π 0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π2π 3 3π3π 4 5π5π 6 7π7π 6 5π5π 4 4π4π 3 3π3π 2 5π5π 3 7π7π 4
7 Задание Обозначьте на числовой окружности точку, которая соответствует данному числу: Проверка (7) О R=1 π 8 4π4π 3 5π5π 2 5π5π 0 π 8 4π4π 3 — 3π 2. Какое взаимное расположение на числовой окружности точек, соответствующих числам
8 Задание 2 ( ). Какой четверти числовой окружности принадлежит точка, соответствующая числу: 2; 5; -5; -9; -17; 31; -95. Проверка (7) R=1 π 0 3π3π 2 π 2 π/2 3,14/2 = 1,57 3π/2 3*3,14/2 = 4,71 III III IV 5 = 4,71+0, = 6,28+2, = 2*6,28+4, = 4*6,28 + 5, = 15*6,28 +0,
9 Задание 3 (17). Как расположены на координатной прямой и на числовой окружности точки, соответствующие числам: О π 0 3π3π 2 π 2 t — t t+2πk t+π t-π a) t и –t; б) t и t+2πk, k Z; в) t и t+π; г) t+π и t-π; 0 π 2π2π -π-π -4π-4π t 4π4π-2π t t+π -t t-π
10 Задание 4. Постройте геометрическую модель дуги числовой окружности, все точки которой удовлетворяют неравенству. О R π 4 3π3π 4 5π5π 4 7π7π 4 π 6 π 3 2π2π 3 5π5π 6 7π7π 6 4π4π 3 5π5π 3 11π 6 π 2 π 3π3π 2 2π2π 0 π 6 -3π 4
11 π 4 3π3π 4 5π5π 4 7π7π 4 π 6 π 3 2π2π 3 5π5π 6 7π7π 6 4π4π 3 5π5π 3 11π 6 π 2 π 3π3π 2 Задание 5. О R=1 0 А В С D R P Найдите все числа t, которым на числовой окружности соответствуют точки, принадлежащие открытой дуге AB DC PR k Z
12 Итог урока Каким вопросам был посвящен урок? Чему научились на уроке?
13 Домашнее задание § (в,г)
14 Источники А.Г. Мордкович, «Алгебра и начала анализа», классы, часть 1, учебник. А.Г. Мордкович, «Алгебра и начала анализа», классы, часть 2, задачник.
