Оси х у z расположение на чертеже

Оси х у z расположение на чертеже

УчебникНГ_полный

горизонтальную плоскость проекций поворачивают вокруг оси проекций х до совмещения с фронтальной плоскостью проекций. Причём, переднюю полу горизонтальной плоскости проекций совмещают с нижней полой фронтальной плоскости проекций, а заднюю полу горизонтальной плоскости проекций — с верхней полой фронтальной плоскости проекций (рис.17).

Так как отрезки А»А х и А’А x перпендикулярны оси проекций х и проходят через одну и ту же точку А х , фронтальная А» и горизонтальная А’ проекции точки А лежат на одном перпендикуляре к оси проекций х . Этот перпендикуляр называется вертикальной линией связи между проекциями точки.

На проекционном чертеже координата у , равная по величине отрезку А’А х , определяет расстояние от горизонтальной проекции точки до оси проекций х . Если координата у положительна, горизонтальная проекция точки располагается под осью проекций х , а если отрицательна — над ней. При координате у , равной нулю,

горизонтальная проекция точки располагается на оси проекций х .

На проекционном чертеже координата Z , равная по величине отрезку А»А x ,

определяет расстояние от фронтальной проекции точки до оси проекций х . Если координата Z положительна, фронтальная проекция точки располагается над осью

проекций х , а если отрицательна — под ней. При координате Z , равной нулю, фронтальная

проекция точки располагается на оси проекций х .

Таким образом, по расположению проекций точек относительно оси проекций можно определить их положение в пространстве, а именно: в какой четверти пространства находится данная точка и на каком расстоянии от плоскостей проекций.

Если координата Z точки положительна, то фронтальная проекция точки расположена над осью х . А это I и II четверти пространства. При отрицательном значении

координаты Z фронтальная проекция точки расположена под осью х . Это уже III и IV четверти пространства

Если координата y точки положительна, то горизонтальная проекция точки расположена под осью проекций х . Это I и IV четверти пространства. Если координата y

точки отрицательна, то её горизонтальная проекция расположена над осью проекций х . Это II и III четверти пространства.

Если точка принадлежит горизонтальной плоскости проекций, то ее фронтальная проекция находится на оси проекций х . Если точка принадлежит фронтальной плоскости

проекций, то ее горизонтальная проекция находится на оси проекций х . Если точка принадлежит обеим плоскостям проекций, значит, она находится на линии их пересечения (на оси проекций). Проекции такой точки совпадают и лежат на оси х .

В окончательном виде проекционный чертеж выглядит так, как представлено на рис.18. Плоскости проекций не ограничивают рамками, т.к. они безграничны. Обозначения плоскостей проекций не наносят, т.к. в любом месте чертежа присутствуют

точки и той и другой плоскости. Оси координат y и Z не показывают, чтобы не загромождать чертеж. Не обозначают также осевые проекции точек.

На рис.19 представлены проекции точек, расположенных в различных четвертях пространства и на плоскостях проекций.

Точка А расположена в I четверти пространства.

Точка В расположена во II четверти пространства.

Точка С расположена в III четверти пространства.

Точка D расположена в IV четверти пространства.

Точка Е распложена на передней поле горизонтальной плоскости проекций.

Точка F распложена на верхней поле фронтальной плоскости проекций. Точка G расположена на оси проекций х .

Вопросы для самопроверки

¾ Каково взаимное расположение двух плоскостей проекций?

¾ Как называются плоскости проекций, как они обозначаются?

¾ Что называется осью проекций, как она обозначается?

¾ Что называется квадрантами (четвертями) пространства, как они обозначаются, как располагаются относительно плоскостей проекций?

¾ Как называются проекции точек на основных плоскостях проекций, как они обозначаются?

¾ Как осуществляется переход от пространственной модели к проекционному чертежу?

¾ Как на проекционном чертеже располагаются горизонтальная и фронтальная проекции точки?

¾ Как называется отрезок прямой, соединяющий проекции точки?

¾ Как на чертеже определить расстояние от точки до горизонтальной и фронтальной плоскости проекций, какими координатами определяются эти расстояния?

¾ В каких четвертях пространства может располагаться точка, если её горизонтальная проекция расположена под осью проекции (над осью проекций)?

¾ В каких четвертях пространства может располагаться точка, если её фронтальная проекция расположена над осью проекции (под осью проекций)?

¾ В каком случае одна из проекций точки находится на оси проекций, обе проекции точки находятся на оси проекций?

§5. ОРТОГОНАЛ ЬНОЕ ПРОЕЦИРО ВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ В ЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКО СТИ ПРОЕКЦИ Й

Две пр оекции то чки определяют её положение в пространстве. Однако иногда требуется введ ение допо лнительной, третьей , плоскости проекций. Это делают, чтобы облегчить решение некоторых задач при осо бом положении геометрических элементов относительно плоскостей проекци й и для облегчения перехода к машиностроительным чертежам, где проекции точек не им еют обозначений.

Третью плоскост ь проекций вводят перпендикулярно как фронтальной, так и горизонтальной плоскостям проекций. Её называют профильной плоскостью проекций и

обозначают π 3 (рис.20).

Горизонтальная и профильная плоскости проекций пересекаются по прямой,

которую называют осью проекций у . Фронтальная и профильная плоскости проекций пересекаются по прямой, которую называют осью проекций Z . Все оси проекций пересекаются в точке О , которую принимают за начало координат.

Каждая из плоскостей проекций осями проекций делится на четыре по лы, назва ния

которых связаны с их положением

Гори зонтальная плоскость проекций

делится на переднюю

левую, заднюю левую,

переднюю правую и заднюю правую полы . Фронтальная плоскость проекций делится на

верхнюю левую , верхнюю правую, нижнюю левую и нижнюю правую полы. Профильная плоскость про екций делится на верхнюю переднюю, ниж нюю переднюю, верхнюю заднюю и нижнюю заднюю полы.

Всё пространство тремя плоскостями проекций делится на восемь частей, называемых октантами . Слева от п рофильной плоскости проекций находятся октанты I — IV , расположен ные в такой же послед овательности, как и ч етверти пространства. Справа от профиль ной

плоскости проекций в такой же последовательности расположены октанты V — VIII .

(ЕСКД ГОСТ 2.317-68)

Настоящий стандарт устанавливает аксонометрические проекции, применяемые в чертежах всех отраслей промышленности и строительства.

Прямоугольные проекции

Положение аксонометрических осей приведено на рис.1.

Коэффициент искажения по осям x, y, z равен 0.82.

Изометрическую проекцию для упрощения, как правило выполняют без искажения по осям x, y, z, т.е. приняв коэффициент искажения равным 1.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис.2)

Если аксонометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x, y, z, то большая ось эллипсов 1,2, 3 равна 1,22, а малая ось — 0.71 диаметра окружности.

Если аксонометрическую проекцию выполняют с искажением по осям x, y, z, то большая ось ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая — 0.58 диаметра окружности.

Пример изометрической проекции детали приведен на рис. 3.

Рисунок 2. Окружность в изометрии

Положение аксонометрических осей приведено на рис.4.

Коэффициент искажения по оси y равен 0.47, а по осям x и z — 0.94.

Диметрическую проекцию, как правило, без искажения по осям x и z и с коэффициентом искажения 0.5 по оси y.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис.5).

Если димметрическую проекцию выполняют без искажения по осям x и z то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна 1,06 диаметра окружности, а малая ось эллипса 1 — 0.95, эллипсов 2 и 3 — 0.35 диаметра окружности.

Если диметрическую проекцию выполняют с искажения по осям x и z, то большая ось эллипсов 1, 2, 3 равна диаметру окружности, а малая ось эллипса 1 — 0.9, эллипсов 2 и 3 — 0,33 диаметра окружности.

Пример диметрической проекции детали приведен на рис.6.

Рисунок 5. Окружность в диметрии

Косоугольные проекции

Положение аксонометрических осей приведено на рис. 7.

Допускается применять фронтальные изометрические проекции с углом наклона оси у 30 и 60°.

Фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям х, у, z.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекции, — в эллипсы (рис. 8).

Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1,3, а малая ось — 0,54 диаметра окружности.

Пример фронтальной изометрической проекции детали приведен на рис. 9.

Рисунок 8. Изображение окружности на фронтальной изометрической проекции

Положение аксонометрических осей приведено на рис. 10.

Допускается применять горизонтальные изометрические проек­ции с углом наклона оси у 45 и 60°, сохраняя угол между осями х и у 90°.

Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям х, у и z .

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных гори­зонтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометричес­кую плоскость проекций в окружности, а окружности лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной и профильной плос­костям проекций— в эллипсы (рис. 11).

Большая ось эллипса / равна 1,37, а малая ось — 0,37 диамет­ра окружности.

Большая ось эллипса 3 равна 1,22, а малая ось — 0,71 диа­метра окружности.

Пример горизонтальной изометрической проекции при­веден на рис. 12.

Рисунок 11. Изображение окружности на горизонтальной изометрической проекции

Положение аксонометрических осей приведено на рис. 13.

Допускается применять фронтальные диметрические проекции

с углом наклона оси у 30 и 60°.

Коэффициент искажения по оси у равен 0,5, а по осям x и z-1.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фрон­тальной плоскости проекций, проецируются на аксонометричес­кую плоскость проекций в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, — в эллипсы (рис. 14). Большая ось эллипсов 2 и 3 равна 1,07, а малая ось — 0,33 диаметра окружности.

Пример фронтальной диметрической проекции детали приведен на рис.15.

Рисунок 14. Изображение окружности на фронтальной диметрической проекции

Условности и нанесение размеров

Линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей проекций квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям (рис. 16).

Рисунок 16. Штриховка сечений в аксонометрических проекциях

При нанесении размеров выносные линии проводят параллельно аксонометрическим осям, размерные линии — параллельно измеряемому отрезку (рис. 17).

В разрезах на аксонометрических проекциях спицы маховиков и шкивов, ребра жесткости и подобные элементы штрихуют (см. рис. 6).

При выполнении в аксонометрических проекциях зубчатых колес, реек, червяков и подобных элементов допускается применять условности по ГОСТ 2.402—68.

В аксонометрических проекциях резьбу изображают по ГОСТ 2.311—68.

Допускается изображать профиль резьбы полностью или частично, как показано на рис. 18.

В необходимых случаях допускается применять другие теоретически обоснованные аксонометрические проекции.

Оси х у z расположение на чертеже

Аксонометрические проекции применяются в качестве вспомогательных к чертежам в тех случаях, когда требуется поясняющее наглядное изображение формы детали. В ГОСТ 2.317-69 стандартизованы прямоугольные и косоугольные аксонометрические проекции с различным расположением осей.

ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

Изометрическая проекция

Положение аксонометрических осей приведено на рис. 1. Коэффициент искажения по осям x , y , z равен 0,82. Для упрощения изометрическую проекцию, как правило, выполняют без искажения, т.е. приняв коэффициент искажения равным 1.

Линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из диагоналей проекций квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны аксонометрическим осям. Для изометрической проекции вариант штриховки по плоскостям приведен на рис. 2.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис. 3).

1, 2, 3 – эллипсы, их большые оси расположены под углом 90 ° к осям y , z , x соответственно и равны (при коэффициенте искажения – 1) 1,22 d , а малые оси – 0,71 d , где d – диаметр окружности.

Построение эллипсов в изометрической проекции окружности можно заменить построением овалов, Следует отметить, что очертание любого циркульного овала не совпадает с очертанием эллипса, имеющего такие же оси, хотя и приближается к нему. Один из способов построения овала приведен на рис. 4.

Пример изображения детали в прямоугольной изометрии приведен на рис. 5.

Диметрическая проекция

Положение аксонометрических осей приведено на рис. 6. Коэффициент искажения по оси y равен 0,47, а по осям x и z – 0,94. Диметрическую проекцию выполняют, как правило, упрощенно с коэффициентом искажения, равным 1, по осям x и z и с коэффициентом искажения 0,5 по оси y .

Штриховка сечений в прямоугольной диметрической проекции показана на рис.7, а пример изображения детали – на рис. 9.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных плоскостям проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в эллипсы (рис. 8).

1 – эллипс, его большая ось расположена под углом 90 ° к оси y и равна (при коэффициенте искажения – 1) 1,06 d , а малая ось – 0,95 d , где d – диаметр окружности;

2, 3 – эллипсы, их большие оси расположены под углом 90 ° к осям z и x соответственно и равны 1,06 d , а малая ось – 0,35 d (при коэффициенте искажения – 1).

КОСОУГОЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ

Фронтальная изометрическая проекция

Положение аксонометрических осей приведено на рис. 10. Допускается применять проекции с углом наклона оси y 30 и 60 градусов. Фронтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x , y , z .

Штриховка сечений в косоугольной фронтальной изометрической проекции показана на рис. 11, а пример выполнения изображения детали – на рис.13.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной и профильной плоскостям проекций, – в эллипсы (рис. 12).

1 – окружность d ; 2, 3 – эллипсы, большая ось расположена под углом 22 ° 30 ¢ к осям x и z соответственно и равна 1,3 d , а малая ось – 0,54 d .

Горизонтальная изометрическая проекция

Положение аксонометрических осей приведено на рис.14. Допускается применять горизонтальные изометрические проекции с углом наклона оси y 45 и 60 градусов, сохраняя угол между осями x и y равным 90 градусов. Горизонтальную изометрическую проекцию выполняют без искажения по осям x , y и z .

Штриховка сечений в косоугольной горизонтальной изометрической проекции показана на рис.15, а пример изображения детали – на рис. 17.

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной и профильной плоскостям проекций, – в эллипсы (рис.16).

1 – эллипс, большая ось расположена под углом 15 ° к оси z и равна 1,37 d , а малая ось – 0,37 d ;

2 – окружность d ;

3 – эллипс, большая ось расположена под углом 30 ° к оси z и равна 1,22 d , а малая ось – 0,71 d ;

Фронтальная диметрическая проекция

Положение аксонометрических осей приведено на рис. 18. Допускается применять фронтальные диметрические проекции с углом наклона оси y 30 и 60 градусов. Коэффициент искажения по оси y равен 0,5, а по осям x , z – 1.

Штриховка сечений в косоугольной фронтальной диметрии показана на рис.19, а пример изображения детали – на рис.21

Окружности, лежащие в плоскостях, параллельных фронтальной плоскости проекций, проецируются на аксонометрическую плоскость проекций в окружности, а окружности, лежащие в плоскостях, параллельных горизонтальной или профильной плоскости проекций, – в эллипсы (рис.20). 1 – окружность d ; 2, 3 – эллипсы, большая ось расположена под углом 7 ° 14 ¢ к осям x и z соответственно и равна 1,07 d , а малая ось – 0,33 d .

Построение ортогональных проекций точек

Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

Комплексный чертеж точек A и B

Определение координат точек по их проекциям

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A’, имеющая координаты x, y. Проведем из т. A’ перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно Aх, Aу. Координата х для т. A равна длине отрезка AхO со знаком плюс, так как Aх лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка AуO со знаком минус, так как т. Aу лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A» имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A» на ось z и найдем Az. Координата z точки A равна длине отрезка AzO со знаком минус, так как Az лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В’. Так как она лежит на оси х, то Bx = B’ и координата Bу = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка BхO со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B» к оси z, таким образом найдем Bz. Аппликата z точки B равна длине отрезка BzO со знаком минус, так как Bz лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Определение координат точек по их проекциям

Построение проекций точек

Точки A и B в плоскости П3 имеют следующие координаты: A»’ (y, z); B»’ (y, z). При этом A» и A»’ лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B» и B»’. Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса AуO. После этого проведем перпендикуляр из Aу до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A» к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A»’.

Точка B»’ лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B» к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B»’.

Построение недостающих проекций точек

Определение положения точек в пространстве

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П1, П2 и П3, расположение октантов, а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П2.

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.

ОктантыЗнаки координат
xyz
1+++
2++
3+
4++
5++
6+
7
8+

Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П2. Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П1, П2, П3

Построение наглядного изображения точек

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П1, П2, П3, а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A’. Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки Aх и Aу. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Aх и Aу соответственно к осям x и y определяет положение т. A’. Отложив от A’ параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA’, длина которого равна 10, находим положение точки A.

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из Bх и Bz, определит положение точки B.

Прямоугольная система координат. Ось абсцисс и ординат

Французский математик Рене Декарт предложил вместо геометрических построений использовать математические расчеты. Так появился метод координат, о котором мы сейчас расскажем.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Например, координаты школы тоже можно записать числами — они помогут понять, где именно находится наша школа. С точками на плоскости та же история.

Координатой можно назвать номер столика в кафе, широту и долготу на географической карте, положение точки на числовой оси и даже номер телефона друга. Проще говоря, когда мы обозначаем какой-то объект набором букв, чисел или других символов, тем самым мы задаем его координаты.

Прямоугольная система координат — это система координат, которую изобрел математик Рене Декарт, ее еще называют «декартова система координат». Она представляет собой два взаимно перпендикулярных луча с началом отсчета в точке их пересечения.

Чтобы найти координаты, нужны ориентиры, от которых будет идти отсчет. На плоскости в этой роли выступят две числовые оси.

Чертеж начинается с горизонтальной оси, которая называется осью абсцисс и обозначается латинской буквой x (икс). Записывают ось так: Ox. Положительное направление оси абсцисс обозначается стрелкой слева направо.

Затем проводят вертикальную ось, которая называется осью ординат и обозначается y (игрек). Записывают ось Oy. Положительное направление оси ординат показываем стрелкой снизу вверх.

Оси взаимно перпендикулярны, а значит угол между ними равен 90°. Точка пересечения является началом отсчета для каждой из осей и обозначается так: O. Начало координат делит оси на две части: положительную и отрицательную.

  • Координатные оси — это прямые, образующие систему координат.
  • Ось абсцисс Ox — горизонтальная ось.
  • Ось ординат Oy — вертикальная ось.
  • Координатная плоскость — плоскость, в которой находится система координат. Обозначается так: x0y.
  • Единичный отрезок — величина, которая принимается за единицу при геометрических построениях. В декартовой системе координат единичный отрезок отмечается на каждой из осей. Длина отрезка показывает сколько раз единичный отрезок и его части укладываются в данном отрезке.

Единичные отрезки располагаются справа и слева от оси Oy, вверх и вниз от оси Oy. Числовые значения на оси Oy располагаются слева или справа, на оси Ox — внизу под ней. Чаще всего единичные отрезки двух осей соответствуют друг другу, но бывают задачи, где они не равны.

Оси координат делят плоскость на четыре угла — четыре координатные четверти.

У каждой из координатных четвертей есть свой номер и обозначение в виде римской цифры. Отсчет идет против часовой стрелки:

  • верхний правый угол — первая четверть I;
  • верхний левый угол — вторая четверть II;
  • нижний левый угол — третья четверть III;
  • нижний правый угол — четвертая четверть IV;

Чтобы узнать координаты точки в прямоугольной системе координат, нужно опустить от точки перпендикуляр на каждую ось и посчитать количество единичных отрезков от нулевой отметки до опущенного перпендикуляра. Координаты записывают в скобках, первая по оси Ох, вторая по оси Оу.

  • Если обе координаты положительны, то точка находится в первой четверти координатной плоскости.
  • Если координата х отрицательная, а координата у положительная, то точка находится во второй четверти.
  • Если обе координаты отрицательны, то число находится в третьей четверти.
  • Если координата х положительная, а координата у отрицательная, то точка лежит в четвертой четверти.

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Координаты точки в декартовой системе координат

Для начала отложим точку М на координатной оси Ох. Любое действительное число xM равно единственной точке М, которая располагается на данной прямой. При этом начало отсчета координатных прямых всегда ноль.

Каждая точка М, которая расположена на Ох, равна действительному числу xM. Этим действительным числом и является ноль, если точка М расположена в начале координат, то есть на пересечении Оx и Оу. Если точка удалена в положительном направлении, то число длины отрезка положительно и наоборот.

Число xM — это координата точки М на заданной координатной прямой.

Пусть точка будет проекцией точки Mx на Ох, а My на Оу. Значит, через точку М можно провести перпендикулярные осям Оx и Оу прямые, после чего получим соответственные точки пересечения Mx и My.Тогда у точки Mx на оси Оx есть соответствующее число xM, а My на ОуyM. Как это выглядит на координатных осях:

Координаты точки в декартовой системе координат

Каждой точке М на заданной плоскости в прямоугольной декартовой системе координат соответствует пара чисел (xM, yM), которые называются ее координатами. Абсцисса М — это xM, ордината М — это yM.

Обратное утверждение тоже верно: каждая пара (xM, yM) имеет соответствующую точку на плоскости.

Оси х у z расположение на чертеже

  • Вы здесь:  
  • Главная
  • Статьи
  • Технические науки
  • Черчение
  • Основы начертательной геометрии
  • Проецирование точки

Проецирование точки

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ДВЕ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

Образование отрезка прямой линии АА1 можно представить как результат перемещения точки А в какой-либо плоскости Н (рис. 84, а), а образование плоскости — как перемещение отрезка прямой линии АВ (рис. 84, б).

Рис. 84.

Точка — основной геометрический элемент линии и поверхности, поэтому изучение прямоугольного проецирования предмета начинается с построения прямоугольных проекций точки.

В пространство двугранного угла, образованного двумя перпендикулярными плоскостями — фронтальной (вертикальной) плоскостью проекций V и горизонтальной плоскостью проекций Н, поместим точку А (рис. 85, а).

Линия пересечения плоскостей проекций — прямая, которая называется осью проекций и обозначается буквой х.

Плоскость V здесь изображена в виде прямоугольника, а плоскость Н — в виде параллелограмма. Наклонную сторону этого параллелограмма обычно проводят под углом 45° к его горизонтальной стороне. Длина наклонной стороны берется равной 0,5 ее действительной длины.

Из точки А опускают перпендикуляры на плоскости V и Н. Точки а’и а пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций V и Н являются прямоугольными проекциями точки А. Фигура Аааха’ в пространстве — прямоугольник. Сторона аах этого прямоугольника на наглядном изображении уменьшается в 2 раза.

Рис. 85.

Совместим плоскости Н с плоскостью V ,вращая V вокруг линии пересечения плоскостей х. В результате получается комплексный чертеж точки А (рис. 85, б)

Для упрощения комплексного чертежа границы плоскостей проекций V и Н не указывают (рис. 85, в).

Перпендикуляры, проведенные из точки А к плоскостям проекций, называются проецирующими линиями, а основания этих проецирующих линий — точки а и а’ — называются проекциями точки А: а’ — фронтальная проекция точки А, а — горизонтальная проекция точки А.

Линия а’ а называется вертикальной линией проекционной связи.

Расположение проекции точки на комплексном чертеже зависит от положения этой точки в пространстве.

Рис. 86.

Если точка А лежит на горизонтальной плоскости проекций Н (рис. 86, а), то ее горизонтальная проекция а совпадает с заданной точкой, а фронтальная проекция а’ располагается на оси При расположении точки В на фронтальной плоскости проекций V ее фронтальная проекция совпадает с этой точкой , а горизонтальная проекция лежит на оси х. Горизонтальная и фронтальная проекции заданной точки С, лежащей на оси х, совпадают с этой точкой. Комплексный чертеж точек А, В и С показан на рис. 86, б.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ТОЧКИ НА ТРИ ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

В тех случаях, когда по двум проекциям нельзя представить себе форму предмета, его проецируют на три плоскости проекций. В этом случае вводится профильная плоскость проекций W, перпендикулярная плоскостям V и Н. Наглядное изображение системы из трех плоскостей проекций дано на рис. 87, а.

Ребра трехгранного угла (пересечение плоскостей проекций) называются осями проекций и обозначаются x, у и z. Пересечение осей проекций называется началом осей проекций и обозначается буквой О. Опустим из точки А перпендикуляр на плоскость проекций W и, отметив основание перпендикуляра буквой а», получим профильную проекцию точки А.

Для получения комплексного чертежа точки А плоскости Н и W совмещают с плоскостью V, вращая их вокруг осей Ох и Oz. Комплексный чертеж точки А показан на рис. 87, б и в.

Рис. 87.

Отрезки проецирующих линий от точки А до плоскостей проекций называются координатами точки А и обозначаются: хА, уА и zA.

Например, координата zA точки А, равная отрезку а’ах (рис. 88, а и б), есть расстояние от точки А до горизонтальной плоскости проекций Н. Координата у точки А, равная отрезку аах, есть расстояние от точки А до фронтальной плоскости проекций V. Координата хА, равная отрезку аау — расстояние от точки А до профильной плоскости проекций W.

Таким образом, расстояние между проекцией точки и осью проекции определяют координаты точки и являются ключом к чтению ее комплексного чертежа. По двум проекциям точки можно определить все три координаты точки.

Если заданы координаты точки А (например, хА=20 мм, уА=22мм и zA= 25 мм), то можно построить три проекции этой точки.

Для этого от начала координат О по направлению оси Oz откладывают вверх координату zA и вниз координату уА.Из концов отложенных отрезков — точек az и ау (рис. 88, а) — проводят прямые, параллельные оси Ох, и на них откладывают отрезки, равные координате хА. Полученные точки а’ и а — фронтальная и горизонтальная проекции точки А.

По двум проекциям а’ и а точки А построить ее профильную проекцию можно тремя способами:

1) из начала координат О проводят вспомогательную дугу радиусом Оау, равным координате (рис. 87, б и в), из полученной точки ау1 проводят прямую, параллельную оси Oz, и откладывают отрезок, равный zA;

2) из точки ау проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, а), получают точку ау1 и т. д.;

3) из начала координат О проводят вспомогательную прямую под углом 45° к оси Оу (рис. 88, б), получают точку ау1 и т. д.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector