Определить взаимное расположение плоскости

Определить взаимное расположение плоскости

Взаимное расположение плоскостей

Получим условия параллельности или совпадения двух плоскостей и заданных общими уравнениями:

Необходимым и достаточным условием параллельности или совпадения плоскостей (4.23) является условие коллинеарности их нормалей Следовательно, если плоскости (4.23) параллельны или совпадают, то т.е. существует такое число что

Плоскости совпадают, если помимо этих условий справедливо Тогда первое уравнение в (4.23) имеет вид т.е. равносильно второму, поскольку

Таким образом, плоскости (4.23) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число что но Плоскости (4.23) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны: и

Условия параллельности и совпадения плоскостей (4.23) можно записать в виде

Отсюда следует критерий параллельности или совпадения двух плоскостей (4.23):

Поверхности уровня линейного четырехчлена

Поверхностью уровня функции трех переменных называется геометрическое место точек координатного пространства в которых функция принимает постоянное значение, т.е.

Для линейного четырехчлена уравнение поверхности уровня имеет вид

При любом фиксированном значении постоянной уравнение (4.24) описывает плоскость. Рассмотрим поведение семейства поверхностей уровня, отличающихся значением постоянной. Поскольку коэффициенты и не изменяются, то у всех плоскостей (4.24) будет одна и та же нормаль Следовательно, поверхности уровня линейного четырехчлена D представляют собой семейство параллельных плоскостей (рис.4.19). Поскольку нормаль совпадает с градиентом (см. пункт 3 замечаний 4.2), а градиент направлен в сторону наискорейшего возрастания функции, то при увеличении постоянной поверхности уровня (4.24) переносятся параллельно в направлении нормали.

Пересекающиеся плоскости

Необходимым и достаточным условием пересечения двух плоскостей (4.22) является условие неколлинеарности их нормалей, или, что то же самое, условие непропорциональности коэффициентов при неизвестных:

При этом условии система уравнений

имеет бесконечно много решений, которые определяют прямую пересечения плоскостей, заданных уравнениями (4.23).

Угол между плоскостями

Угол между двумя плоскостями можно определить как угол между их нормальными векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя плоскостями удовлетворяет условию

Если — нормали к плоскостям и соответственно (рис.4.20,а), то величина угла между этими плоскостями вычисляется по формуле:

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности плоскостей (4.23) является условие ортогональности их нормалей, т.е.

При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла (рис.4.20). Величина двугранного угла удовлетворяет условию

получаем острый двугранный угол , образованный плоскостями (4.23), если (рис.4.20,а), и тупой в противном случае: (рис.4.20,б). Другими словами, по формуле (4.26) находится тот двугранный угол, образованный плоскостями, в котором лежат точки, принадлежащие разноименным полупространствам, определяемым данными плоскостями. На рис.4.20 изображены пересекающиеся плоскости, положительные и отрицательные полупространства отмечены знаками + или – соответственно.

Пример 4.10. Найти величину того угла, образованного плоскостями и внутри которого лежит точка

Решение. По уравнениям плоскостей находим нормали а также величину угла между нормалями, используя (4.26):

Подставляя координаты точки в левые части уравнений плоскостей, выясняем, каким полупространствам принадлежит эта точка. Для плоскости имеем значит, точка лежит в положительном полупространстве, определяемом плоскостью Для плоскости имеем значит, точка лежит также в положительном полупространстве, определяемом плоскостью Поскольку точка принадлежит одноименным полупространствам (положительным), то искомый угол — это угол смежный найденному углу

Пучки плоскостей

Собственным пучком плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую ( ось пучка ).

Несобственным пучком плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной плоскости (осью несобственного пучка плоскостей считается бесконечно удаленная прямая).

Любые две плоскости и определяют пучок плоскостей, содержащий заданные плоскости и Если плоскости и пересекаются, то прямая пересечения является осью собственного пучка (рис.4.21,а). Если плоскости и параллельны, то они определяют несобственный пучок параллельных плоскостей (рис.4.21,б).

Пусть заданы уравнения двух плоскостей (4.23):

Линейной комбинацией этих уравнений называется уравнение

где числа — коэффициенты линейной комбинации. Его можно записать в форме

Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю, т.е. при одновременном выполнении условий

Эти значения параметров считаются недопустимыми.

Уравнение (4.27) называется уравнением пучка плоскостей, содержащего плоскости

При любых допустимых значениях параметров уравнение (4.27) задает плоскость, принадлежащую пучку, и наоборот, для любой плоскости пучка найдутся такие значения параметров что уравнение (4.27) будет задавать эту плоскость.

Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.

Пример 4.11. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей и через точку

Решение. Искомая плоскость входит в пучок плоскостей, задаваемый уравнением (4.27)

Подставляя координаты точки получаем:

Возьмем, например, и подставим в уравнение пучка:

Итак, искомое уравнение получено.

Связки плоскостей

Собственной связкой плоскостей называется совокупность всех плоскостей, проходящих через фиксированную точку ( центр связки ).

Несобственной связкой плоскостей называется совокупность плоскостей, параллельных фиксированной прямой (центром несобственной связки плоскостей считается бесконечно удаленная точка).

Уравнение собственной связки плоскостей с центром имеет вид

где — произвольные параметры, одновременно не равные нулю.

Уравнение связки плоскостей (собственной (рис.4.22,а) или несобственной (рис.4.22,6)) можно получить в виде линейной комбинации уравнений трех плоскостей:

где — коэффициенты линейной комбинации. Заметим, что линейная комбинация уравнений является уравнением первой степени для любых значений коэффициентов, кроме случая, когда все коэффициенты при неизвестных равны нулю. Эти значения параметров считаются недопустимыми.

Уравнение (4.28) называется уравнением связки плоскостей, содержащей три плоскости

При любых допустимых значениях параметров уравнение (4.28) задает плоскость, принадлежащую связке, и наоборот, для любой плоскости связки найдутся такие значения параметров что уравнение (4.28) будет задавать эту плоскость.

Доказательство утверждения аналогично доказательству свойства пучка прямых.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
Признаки параллельности двух плоскостей

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными или могут пересекаться, как показано в следующей таблице.

ФигураРисунокОпределение
Две пересекающиеся плоскостиПересекающиеся плоскостиДве плоскости называют пересекающимися , если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.
Две параллельные плоскостиДве плоскости называют параллельными , если они не имеют общих точек.

Пересекающиеся плоскости

Пересекающиеся плоскости

Определение:
Две плоскости называют пересекающимися , если они не совпадают, и у них есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением этих плоскостей является прямая линия.

Параллельные плоскости

Определение:
Две плоскости называют параллельными , если они не имеют общих точек.

Признаки параллельности двух плоскостей

Первый признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые пересекающиеся прямые , лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны параллельны двум прямым, лежащим в другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 1, на котором изображены плоскости α и β

Признак параллельности плоскостей

Признак параллельности плоскостей

Прямые a и b лежат в плоскости α и пересекаются в точке K . Прямые c и d лежат в плоскости β и параллельны прямым a и b соответственно.

Будем доказывать первый признак параллельности двух плоскостей методом «от противного». Для этого предположим, что плоскости α и β не параллельны. Следовательно, плоскости α и β должны пересекаться, причём пересекаться по некоторой прямой. Обозначим прямую линию, по которой пересекаются плоскости α и β буквой l (рис.2) и воспользуемся признаком параллельности прямой и плоскости.

Признак параллельности плоскостей

Признак параллельности плоскостей

Признак параллельности плоскостей

Плоскость α проходит через прямую a , параллельную прямой c , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые a и l параллельны. В то же время плоскость α проходит через прямую b , параллельную прямой d , и пересекает плоскость β по прямой l . Отсюда, в силу признака параллельности прямой и плоскости, заключаем, что прямые b и l параллельны. Таким образом, мы получили, что на плоскости α через точку K проходят две прямые, а именно, прямые a и b , которые параллельны прямой l . Полученное противоречие с аксиомой о параллельных прямых аксиомой о параллельных прямых даёт возможность утверждать, что предположение о том, что плоскости α и β пересекаются, является неверным. Доказательство первого признака параллельности двух плоскостей завершено.

Второй признак параллельности двух плоскостей . Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 3, на котором изображены плоскости α и β .

Признак параллельности плоскостей

Признак параллельности плоскостей

На этом рисунке также изображены прямые a и b , которые лежат в плоскости α и пересекаются в точке K. По условию каждая из прямых a и b параллельна плоскости β . Требуется доказать, что плоскости α и β параллельны.

Доказательство этого утверждения аналогично доказательству первого признака параллельности двух плоскостей, и мы его оставляем читателю в качестве полезного упражнения.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Взаимное расположение двух плоскостей

Плоскости могут совпадать, быть параллельными или пересекаться по прямой.

– общие уравнения двух плоскостей. Тогда:

1) если , то плоскости совпадают;

2) если , то плоскости параллельны;

3) если или , то плоскости пересекаются и система уравнений

является уравнениями прямой пересечения данных плоскостей.

Доказательство. Первое и второе условия теоремы равносильны коллинеарности нормальных векторов данных плоскостей:

Если , то , , , и уравнение плоскости принимает вид:

Коэффициент пропорциональности k не может быть равен нулю, т.к. и при получаем, что , что противоречит определению нормального вектора. Следовательно, уравнение плоскости

совпадает с уравнением плоскости , а это означает, что плоскости совпадают.

Если , то это означает коллинеарность нормальных векторов обеих плоскостей, а значит плоскости либо параллельны, либо совпадают. Но в этом случае плоскости не могут совпадать и остается единственная возможность их параллельности.

Третье условие теоремы равносильно тому, что нормальные векторы плоскостей не коллинеарные, а потому они не совпадают и не параллельны, а следовательно, они пересекаются. Из геометрии известно, что линия пересечения двух плоскостей является прямой.

Точка М лежит на прямой пересечения двух плоскостей и тогда и только тогда, когда она лежит одновременно на обеих плоскостях и ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы (6), т.е. являются решением этой системы. А это означает, что система (6) является уравнениями прямой пересечения плоскостей, ч.т.д.

п.4. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.

Прямая может лежать на данной плоскости, быть параллельна данной плоскости или пересекать ее в одной точке, см. следующие рисунки.

Теорема. Пусть плоскость задана общим уравнением

а прямая L задана каноническими уравнениями

или параметрическими уравнениями

в которых – координаты нормального вектора плоскости , – координаты произвольной фиксированной точки прямой L, –

координаты направляющего вектора прямой L. Тогда:

1) если , то прямая L пересекает плоскость в точке, координаты которой можно найти из системы уравнений

2) если и , то прямая лежит на плоскости;

3) если и , то прямая параллельна плоскости.

Доказательство. Условие говорит о том, что вектроры и не ортогональны, а значит прямая не параллельна плоскости и не лежит в плоскости, а значит пересекает ее в некоторой точке М. Координаты точки М удовлетворяют как уравнению плоскости, так и уравнениям прямой, т.е. системе (7). Решаем первое уравнение системы (7) относительно неизвестной t и затем, подставляя найденное значение t в остальные уравнения системы, находим координаты искомой точки.

Если , то это означает, что . А такое возможно лишь тогда, когда прямая лежит на плоскости или параллельна ей. Если прямая лежит на плоскости, то любая точка прямой является точкой плоскости и координаты любой точки прямой удовлетворяют уравнению плоскости. Поэтому достаточно проверить, лежит ли на плоскости точка . Если , то точка – лежит на плоскости, а это означает, что и сама прямая лежит на плоскости.

Если , а , то точка на прямой не лежит на плоскости, а это означает, что прямая параллельна плоскости.

Взаимное расположение плоскостей, угол между плоскостями.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Условие параллельности двух плоскостей:

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$ $overline_1=(A_1, B_1, C_1);$

$P_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,$ $overline_2=(A_2, B_2, C_2).$

Плоскости $P_1$ и $P_2$ параллельны тогда и только тогда, когда $overline_1paralleloverline_2Leftrightarrow$ $frac=frac=frac.$

Условия перпендикулярности двух плоскостей:

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$ $overline_1=(A_1, B_1, C_1);$

$P_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,$ $overline_2=(A_2, B_2, C_2).$

$P_1perp P_2Leftrightarrow$ $overline_1perpoverline_2Leftrightarrow$ $cdot+cdot+C_1cdot C_2=0.$

Угол между плоскостями:

Пусть $P_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0,$ $overline_1=(A_1, B_1, C_1);$

$P_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0,$ $overline_2=(A_2, B_2, C_2).$

Примеры.

В задачах исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При этом, в случае $P_1parallel P_2$ то найти расстояние между плоскостями, а в случае — косинус угла между ними.

2.185. $P_1: -x+2y-z+1=0;$ $P_2: y+3z-1=0.$

Решение.

Вычислим угол между заданными плоскостями.

$P_1: -x+2y-z+1=0, Rightarrowoverline_1=(-1, 2, -1);$

$P_2: y+3z-1=0, Rightarrowoverline_2=(0, 1, 3).$

Соответственно, плоскости пересекаются и косинус кратчайшего угла между плоскостями

Ответ: Плоскости пересекаются. $coswidehat<(P_1, P_2)>=frac<1><2sqrt<15>>.$

2.187. $P_1: x-y+1=0;$ $P_2: y-z+1=0.$

Решение.

Вычислим угол между заданными плоскостями.

$P_1: x-y+1=0, Rightarrowoverline_1=(1, -1, 0);$

$P_2: y-z+1=0, Rightarrowoverline_2=(0, 1, -1).$

Соответственно, плоскости пересекаются и косинус кратчайшего угла между плоскостями

Ответ: Плоскости пересекаются. $coswidehat<(P_1, P_2)>=frac<1><2>.$

2.196. Составить уравнение плоскости $P,$ проходящей через точку $A(1, 1, -1)$ и перпендикулярной к плоскостям $P_1: 2x-y+5z+3=0$ и $P_2: x+3y-z-7=0.$

Решение.

Для того, чтобы плоскость $P$ была перпендикулярно плоскостям $P_1$ и $P_2,$ достаточно, чтобы она была параллельна их нормалям $N_1$ и $N_2.$ Или, что тоже самое, перпендикулярна векторному произведению $[N_1, N_2]$

$P_1: 2x-y+5z+3=0, Rightarrowoverline_1=(2, -1, 5);$

$P_2: x+3y-z-7=0, Rightarrowoverline_2=(1, 3, -1).$

Теперь выпишем уравнение плоскости, проходящей через заданную точку $A(1, 1, -1)$ и перпендикулярной вектору $[N_1, N_2]=(-14, 7, 7):$

Ответ: $-2x+y+z+2=0.$

Домашнее задание.

В задачах исследовать взаимное расположение заданных плоскостей. При этом, в случае $P_1parallel P_2$ то найти расстояние между плоскостями, а в случае — косинус угла между ними.

Взаимное расположение плоскостей: необходимые сведения

Плоскостью называется двумерный геометрический объект. Он является составной частью всех многогранников. Рассмотрим в статье с математической точки зрения различные варианты взаимного расположения плоскостей в пространстве.

Что называют плоскостью?

Каждый человек знаком с этим понятием, поскольку при решении бытовых задач он часто сталкивается с ним. Так, говорят о плоскости стены, доски, металлического листа и так далее. В математике под этим термином понимают такой объект, который удовлетворяет следующим признакам:

  • Он состоит из бесконечного числа точек.
  • Если соединить каждую точку поочередно со всеми остальными, то получится бесконечный набор векторов, причем все они будут перпендикулярны некоторому одному вектору. Последний называется нормалью к плоскости.

Пример плоскости в трехмерном пространстве приведен ниже на рисунке.

Плоскость в трехмерном пространстве

Уравнения плоскости

Прежде чем отвечать на вопрос, каково взаимное расположение плоскостей, необходимо привести математические выражения, задающие рассматриваемый геометрический объект. Начнем с общего уравнения, которое может быть представлено в следующей форме:

Большие латинские буквы здесь являют собой простые числа. Маленькие буквы — это совокупность координат всех точек, которые удовлетворяют данному уравнению (лежащие в плоскости точки).

Приведенное выражение удобно использовать для решения многих геометрических задач, поскольку в нем содержится информация о нормальном векторе n¯. Координатами n¯ являются числа A, B и C.

Следующим уравнением плоскости, которое применяют для решения задач, является векторное. Оно выглядит следующим образом:

Приведенное выражение выглядит несколько громоздким, однако в нем нет ничего сложного. Первое слагаемое в правой части равенства — это координаты точки, лежащей в плоскости, два последующих слагаемых — это координаты лежащих в плоскости векторов. Параметры α и β являются независимыми и принимают произвольные значения.

Векторное уравнение удобно применять, если необходимо получить параметрическое выражение для плоскости. Кроме того, несложно вычислить координаты нормали к плоскости. Для этого следует умножить векторно два заданных вектора.

Наконец, еще одним важным видом уравнения плоскости является так называемое выражение в отрезках. Оно выглядит так:

Здесь стоящие в знаменателях латинские буквы p, q и l представляют собой числа, являющиеся отрезками, которые отсекает плоскость при пересечении прямоугольных осей координат. Откуда и соответствующее название этого вида уравнения. Очевидно, что его удобно применять, если необходимо изобразить графически объект.

Несложно показать, что все виды записанных уравнений преобразуются друг в друга.

Взаимное расположение плоскостей

Макет плоскостей в пространстве

Плоскость — это двумерный объект. В трехмерном пространстве существует всего два принципиально отличающихся способа взаимного расположения двух плоскостей:

  • они параллельны друг к другу;
  • они пересекаются.

Действительно, если плоскости не имеют общих точек, значит, они никогда не пересекаются, то есть являются параллельными. Наоборот, если рассматриваемые объекты имеют хотя бы одну общую точку, значит, они пересекаются. Отметим, что геометрическим объектом, образующимся в результате пересечения плоскостей, всегда является прямая линия.

Параллельные плоскости

Теперь рассмотрим подробнее каждый из названных выше случаев. Предположим, что в общей форме заданы следующие две плоскости:

Как понять, являются ли они параллельными? Сделать это очень просто. Достаточно вспомнить о нормальных векторах. Если две плоскости параллельны между собой, значит, их нормали также параллельны. Выпишем координаты нормальных векторов к указанным плоскостям. Имеем:

Достаточным условием параллельности n1¯ и n2¯ является возможность задания одного из них через другой. Математически это записывается так:

Где k — некоторое (в том числе отрицательное) число. Если одну нормаль невозможно выразить путем умножения координат другой на число, то такие плоскости не будут параллельными.

Частным случаем параллельности плоскостей является их полное совпадение друг с другом. Тогда должны выполняться такие условия:

Пример параллельных плоскостей в пространстве приведен ниже.

Параллельные плоскости

Пересекающиеся плоскости и угол между ними

Поскольку существует всего два варианта взаимного расположения плоскостей, то достаточно проверить, являются ли они параллельными или нет. В случае их пересечения часто возникает необходимость в определении соответствующего угла. Согласно определению, углом между рассматриваемыми геометрическими объектами является угол между их нормалями.

Пересекающиеся плоскости

Таким образом, изучая вопрос взаимного расположения плоскостей и угла между плоскостями, достаточно рассчитать скалярное произведение векторов n1¯ и n2¯. Соответствующая формула примет вид:

Угол между плоскостями θ всегда является острым, поскольку в числителе стоит модуль скалярного произведения.

Следует отметить частный случай, когда две плоскости пересекаются под углом 90 o . Тогда достаточно вычислить скалярное произведение нормальных векторов. Оно будет равным нулю.

Прямая и плоскость

Пересекающая плоскость прямая

Кратко остановимся на вопросе взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве. В трехмерной системе координат удобнее всего задавать плоскость в векторной форме. Она имеет вид:

Здесь вектор (a, b, c) называется направляющим для прямой. Далее будем обозначать его u¯.

Существует три способа относительного расположения рассматриваемых геометрических объектов:

  • Они параллельны. Для этого скалярное произведение u¯ и нормали n¯ плоскости должно быть равно нулю. И ни одна точка прямой не должна принадлежать плоскости.
  • Прямая лежит в плоскости. Скалярное произведение u¯ и n¯ также равно нулю. И все точки прямой лежат в плоскости.
  • Они пересекаются. В этом случае существует единственное число λ, удовлетворяющее системе уравнений плоскости и прямой. Если прямая пересекает плоскость под прямым углом, тогда ее направляющий вектор может быть выражен путем умножения на некоторое число вектора нормали.

Пример задачи

Закрепим полученные знания на примере решения следующей задачи. Заданы две плоскости следующими уравнениями:

Определите взаимное расположение плоскостей.

Нормальный вектор для первой известен. Он имеет следующие координаты:

Чтобы определить вектор n2¯, следует найти произведение лежащих в этой плоскости векторов. Имеем:

Видно, что вектор n2¯ не может быть получен из вектора n1¯ путем умножения на число. Этот факт говорит о том, что рассматриваемые плоскости пересекаются. Угол пересечения можно рассчитать по приведенной выше формуле. Получаем:

Взаимно перпендикулярные плоскости

Поскольку скалярное произведение равно нулю, значит, плоскости пересекаются под прямым углом.

Рейтинг
( Пока оценок нет )
Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!:

Adblock
detector